线性代数错题本

第五章相似矩阵与二次型题型

来源：中国大学MOOC-满分线性代数-第五章相似矩阵与二次型提高型作业.pdf、答案 PDF、新错题本中的相似矩阵题。目标：把第五章常见题型按“相似矩阵、特征值技巧、二次型标准形/规范形/正定性”归并。

题型 1：秩 1 矩阵 αα^T 的特征值、秩与可逆性

考什么

第五章提高题一开始就出现：

α 为 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，判断 E±αα^T、E±2αα^T 是否可逆。

以及：

α 为 3 维单位列向量，求 E-αα^T 的秩。

核心知识点

若 α 是单位列向量：

α^Tα=1

矩阵：

αα^T

是秩 1 矩阵。

它的特征值为：

1, 0, 0, ..., 0

理由：

αα^Tα=α(α^Tα)=α

所以 α 是特征值 1 的特征向量。

若 x 与 α 正交，即：

α^Tx=0

则：

αα^Tx=α(α^Tx)=0

所以 α 的正交补方向上特征值为 0。

推论

若 α^Tα=1，则：

| 矩阵 | 特征值 | 是否可逆 |
| --- | --- | --- |
| `E-αα^T` | `0,1,...,1` | 不可逆 |
| `E+αα^T` | `2,1,...,1` | 可逆 |
| `E+2αα^T` | `3,1,...,1` | 可逆 |
| `E-2αα^T` | `-1,1,...,1` | 可逆 |

并且：

r(E-αα^T)=n-1

解题流程

1. 先判断 α^Tα，如果 α 是单位向量就是 1。 2. 找两个方向： - α 方向； - 与 α 正交的方向。 3. 分别计算矩阵在这两类方向上的作用。 4. 得到全部特征值。 5. 有 0 特征值则不可逆；没有 0 特征值则可逆。

例题展示

例：设 α 是 3 维单位列向量，求：

r(E-αα^T)

解：

因为：

α^Tα=1

所以：

(E-αα^T)α=α-α(α^Tα)=α-α=0

说明 α 是特征值 0 的特征向量。

若 x 与 α 正交，即 α^Tx=0，则：

(E-αα^T)x=x-α(α^Tx)=x

所以在 α 的正交补上特征值为 1。三维空间中，正交补维数为 2。

因此 E-αα^T 的特征值为：

0,1,1

秩等于非零特征值个数：

r(E-αα^T)=2

易错点

不要把 αα^T 和 α^Tα 混了：

α^Tα 是数
αα^T 是矩阵

题型 2：幂零矩阵 A^k=O 的特征值与行列式

考什么

题目给：

A^3=O

求：

|2E+A|

核心知识点

若：

A^k=O

则 A 的所有特征值都是 0。

因为若 Ax=λx，则：

A^kx=λ^kx=0

由于 x≠0，所以：

λ^k=0 -> λ=0

若 A 是 n 阶矩阵，则 2E+A 的特征值为：

2+λi

全部都是 2。

所以：

|2E+A|=2^n

解题流程

1. 由 A^k=O 推出 A 的全部特征值为 0。 2. cE+A 的特征值为 c+λi。 3. 行列式等于全部特征值乘积。

例题展示

例：设 n 阶矩阵 A 满足：

A^3=O

求：

|2E+A|

解：

A 是幂零矩阵，所以 A 的所有特征值均为 0。

因此 2E+A 的所有特征值均为：

2+0=2

n 阶矩阵的行列式等于特征值乘积，所以：

|2E+A|=2^n

易错点

不要把 A^3=O 理解成 A 一定是零矩阵。A 可以不是零矩阵，但特征值一定全为 0。

题型 3：相似矩阵下 r(A-λE) 的计算

考什么

第五章提高题有：

A 与 B 相似，求 r(A-2E)+r(A-E)

其中 B 通常是对角矩阵或容易看出特征值的矩阵。

核心知识点

若：

A~B

则：

A-λE ~ B-λE

因为：

A=PBP^{-1}

则：

A-λE=PBP^{-1}-λPP^{-1}=P(B-λE)P^{-1}

所以：

r(A-λE)=r(B-λE)

解题流程

1. 找到与 A 相似的简单矩阵 B。 2. 把问题转化：

r(A-λE)=r(B-λE)

3. 若 B 是对角矩阵，直接看对角线上有几个非零数。 4. 非零对角元素个数就是秩。

例题展示

例：若 A 与：

B=diag(1,2,2)

相似，求：

r(A-2E)+r(A-E)

解：

由相似性：

r(A-2E)=r(B-2E)

计算：

B-2E=diag(-1,0,0)

所以：

r(B-2E)=1

同理：

B-E=diag(0,1,1)

所以：

r(B-E)=2

因此：

r(A-2E)+r(A-E)=1+2=3

易错点

相似不代表 A 和 B 每个元素一样，但代表它们所有 A-λE 与 B-λE 的秩一致。

题型 4：由特征值求行列式、由行列式反求未知特征值

考什么

题目给：

3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3,λ，且 |2A|=-48，求 λ。

核心知识点

n 阶矩阵 A 的特征值为 λ1,...,λn，则：

|A|=λ1λ2...λn

数乘矩阵：

|cA|=c^n|A|

解题流程

1. 由特征值写：

|A|=2·3·λ=6λ

2. 由 |2A| 和阶数 n 得：

|2A|=2^n|A|

3. 联立求 λ。

例题展示

例：3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3,λ，且：

|2A|=-48

求 λ。

解：

因为 A 是 3 阶矩阵：

|2A|=2^3|A|=8|A|

所以：

|A|=-48/8=-6

又：

|A|=2·3·λ=6λ

因此：

6λ=-6

解得：

λ=-1

易错点

|2A| 不是 2|A|，而是：

|2A|=2^n|A|

题型 5：矩阵多项式 f(A) 的特征值

考什么

题目给 A 的特征值，让你求：

A^2+3A-5E
2A-6E
(A+E)^{-1}

是否满秩、行列式或特征值。

核心知识点

若 A 的特征值为 λ，则 f(A) 的对应特征值为：

f(λ)

例如：

2A-6E 的特征值为 2λ-6

矩阵满秩等价于没有 0 特征值。

解题流程

1. 写出 A 的所有特征值。 2. 对每个选项或矩阵表达式，把 λ 代入。 3. 若出现 0 特征值，则矩阵不可逆/不满秩。 4. 若全部非零，则满秩/可逆。 5. 若求行列式，就把所有新特征值相乘。

例题展示

例：已知 A 的特征值为：

2, -3, 6

判断 2A-6E 是否满秩。

解：

2A-6E 的特征值为：

2λ-6

分别代入：

λ=2 -> 2·2-6=-2
λ=-3 -> 2·(-3)-6=-12
λ=6 -> 2·6-6=6

都不为 0，因此：

2A-6E 满秩

易错点

只有多项式矩阵 f(A) 能直接代特征值。若是 AB、A+B 一般不能简单把特征值相加相乘。

题型 6：由特征向量组构造相似矩阵

考什么

第五章提高题中有大量题给：

Aα1=...
Aα2=...
Aα3=...

要求：

求 B，使 A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B
求 P^{-1}AP
求 A 的特征值
判断是否可对角化

核心知识点

设：

P=(α1,α2,α3)

若：

A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B

则：

AP=PB

若 P 可逆，则：

P^{-1}AP=B

因此：

A 与 B 相似

A 的特征值就是 B 的特征值。

解题流程

1. 把给定向量按列组成 P。 2. 根据题目给的 Aαi，把每个 Aαi 用 α1,α2,α3 表示。 3. 表示系数作为 B 的第 i 列。 4. 得到 AP=PB。 5. 若 α1,α2,α3 线性无关，则 P 可逆。 6. 于是 P^{-1}AP=B。 7. 后续求特征值、对角化，都转为研究 B。

例题展示

例：设 α1,α2,α3 线性无关，且：

Aα1=α1
Aα2=2α2
Aα3=α1+α2+3α3

求 P^{-1}AP，其中：

P=(α1,α2,α3)

解：

矩阵 B 的第 1 列来自 Aα1 在基 α1,α2,α3 下的坐标：

Aα1=1α1+0α2+0α3 -> (1,0,0)^T

第 2 列：

Aα2=0α1+2α2+0α3 -> (0,2,0)^T

第 3 列：

Aα3=1α1+1α2+3α3 -> (1,1,3)^T

所以：

B=[1 0 1
   0 2 1
   0 0 3]

因为：

AP=PB

且 P 可逆，所以：

P^{-1}AP=B

易错点

B 的列不是随便写的，而是 Aαi 在 α1,α2,α3 这组基下的坐标。第 i 个等式对应 B 的第 i 列。

题型 7：可对角化的参数讨论

考什么

提高题中出现：

矩阵 A 的特征方程有一个二重根，求参数 a，并讨论 A 是否可以对角化。

核心知识点

n 阶矩阵可对角化，当且仅当：

所有特征值对应的线性无关特征向量总数为 n

对重特征值 λ：

几何重数 = n-r(λE-A)

若 λ 是二重根，要想贡献 2 个线性无关特征向量，需要：

n-r(λE-A)=2

也就是：

r(λE-A)=n-2

三阶矩阵中，二重特征值要有 2 个特征向量，需：

r(λE-A)=1

解题流程

1. 先求特征多项式。 2. 用“有二重根”条件求参数。 3. 参数代回矩阵。 4. 对二重特征值 λ 计算 r(λE-A)。 5. 若几何重数等于 2，则可对角化。 6. 若几何重数只有 1，则不可对角化。

例题展示

例：三阶矩阵 A 有特征值：

λ=1（二重），λ=2（单重）

讨论可对角化。

解：

单重特征值 2 一定贡献 1 个线性无关特征向量。

关键看二重特征值 1。

若：

r(E-A)=1

则：

dim N(E-A)=3-1=2

二重特征值贡献 2 个线性无关特征向量，总数：

2+1=3

所以 A 可对角化。

若：

r(E-A)=2

则：

dim N(E-A)=1

总特征向量个数只有：

1+1=2<3

所以 A 不可对角化。

易错点

代数重数是特征方程里根的重数；几何重数是对应特征子空间维数。可对角化看的是几何重数是否够，不是只看特征值有几个。

题型 8：二次型写矩阵

考什么

题目给二次型：

f(x1,x2,x3)=a11x1^2+a22x2^2+a33x3^2+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3

要求写矩阵 A，使：

f=x^TAx

核心知识点

二次型矩阵必须是对称矩阵：

A=A^T

对角线系数直接放：

a11, a22, a33

交叉项要除以 2：

2a12x1x2 对应 A12=A21=a12

解题流程

1. 平方项系数放到对角线。 2. 交叉项系数除以 2，分别放到对称位置。 3. 写出对称矩阵 A。

例题展示

例：

f=2x1^2+3x2^2+x3^2+4x1x2-6x1x3+8x2x3

写矩阵 A。

解：

平方项：

A11=2, A22=3, A33=1

交叉项：

4x1x2 -> A12=A21=2
-6x1x3 -> A13=A31=-3
8x2x3 -> A23=A32=4

所以：

A=[ 2  2 -3
    2  3  4
   -3  4  1]

易错点

交叉项一定要除以 2。因为：

x^TAx

里 a12x1x2 和 a21x2x1 会合并。

题型 9：二次型的标准形与规范形

考什么

题目问：

求二次型标准形
求规范形
判断秩、正惯性指数、负惯性指数

核心知识点

标准形：

d1y1^2+d2y2^2+...+dnyn^2

其中系数可以是任意非零实数。

规范形：

y1^2+...+yp^2 - y(p+1)^2 - ... - y(p+q)^2

只保留系数 1,-1,0。

关系：

| 名称 | 看什么 |
| --- | --- |
| 秩 r | 非零平方项个数 |
| 正惯性指数 p | 正系数平方项个数 |
| 负惯性指数 q | 负系数平方项个数 |
| 符号差 | `p-q` |

解题流程

1. 先写二次型矩阵 A。 2. 用正交变换时，求 A 的特征值。 3. 标准形为：

λ1y1^2+λ2y2^2+...+λnyn^2

4. 规范形把正系数变成 +1，负系数变成 -1，零保留。 5. 数正负非零项。

例题展示

例：某二次型在正交变换下的标准形为：

2y1^2-3y2^2+0y3^2

求规范形、秩、正惯性指数、负惯性指数。

解：

非零平方项有两个，所以：

r=2

正系数有一个：

p=1

负系数有一个：

q=1

规范形为：

z1^2-z2^2

也可写成：

z1^2-z2^2+0z3^2

易错点

标准形不是唯一的；规范形由正负惯性指数决定，在实数域合同意义下唯一。

题型 10：正交变换下二次型标准形

考什么

题目给：

x=Qy

其中 Q 是正交矩阵，问二次型在该变换下的标准形。

核心知识点

二次型：

f=x^TAx

若：

x=Qy

则：

f=(Qy)^TA(Qy)=y^T(Q^TAQ)y

若 Q 的列向量是 A 的规范正交特征向量，则：

Q^TAQ=diag(λ1,...,λn)

标准形为：

λ1y1^2+...+λnyn^2

解题流程

1. 判断 Q 是否为正交矩阵。 2. 算 Q^TAQ。 3. 若结果为对角矩阵，直接写标准形。 4. 如果只是换了 Q 的列顺序，标准形中平方项系数也按同样顺序换。

例题展示

例：已知二次型在正交变换：

x=Py, P=(e1,e2,e3)

下的标准形为：

2y1^2+3y2^2- y3^2

若改用：

x=Qz, Q=(e2,e3,e1)

求新标准形。

解：

Q 只是把 P 的列向量顺序从：

e1,e2,e3

改成：

e2,e3,e1

原来 e1,e2,e3 对应特征值：

2,3,-1

现在顺序变为：

e2 -> 3
e3 -> -1
e1 -> 2

所以新标准形为：

3z1^2-z2^2+2z3^2

易错点

正交矩阵列顺序变了，对角矩阵中特征值顺序也变。二次型本身不变，只是变量编号变了。

题型 11：正定二次型与正定矩阵

考什么

第五章题里有：

证明 A+E 为正定矩阵
判断二次型是否正定
求参数使二次型正定

核心知识点

实对称矩阵 A 正定，等价于：

| 判据 | 内容 |
| --- | --- |
| 定义 | 对任意非零 x，`x^TAx>0` |
| 特征值判据 | A 的全部特征值大于 0 |
| 顺序主子式判据 | 所有顺序主子式均大于 0 |
| 合同标准形 | 正惯性指数为 n |

解题流程

若题目给特征值：

1. 直接看全部特征值是否大于 0。 2. 若要证明 A+E 正定，则看 A 的特征值 λ，A+E 的特征值为 λ+1。 3. 若所有 λ+1>0，则正定。

若题目给具体矩阵：

1. 检查是否对称。 2. 算顺序主子式：

Δ1, Δ2, ..., Δn

3. 全部大于 0，则正定。

例题展示

例：设三阶实对称矩阵 A 的特征值为：

1, 2, -1/2

证明 A+E 正定。

解：

因为 A 是实对称矩阵，所以 A 可正交对角化，其正定性可以用特征值判断。

A+E 的特征值为：

1+1=2
2+1=3
-1/2+1=1/2

这三个特征值都大于 0，所以：

A+E 正定

易错点

正定矩阵必须是实对称矩阵语境下讨论。普通矩阵即使特征值为正，也不一定按二次型意义正定。

题型 12：合同矩阵与相似矩阵的区别

考什么

第五章二次型题常问：

哪些矩阵与 A 合同？
合同能推出什么？
相似能推出什么？

核心知识点

相似：

B=P^{-1}AP

保持：

特征值、特征多项式、行列式、迹、秩

合同：

B=P^TAP

保持：

秩、正惯性指数、负惯性指数

不一定保持特征值。

对比表

| 问题 | 相似 | 合同 |
| --- | --- | --- |
| 形式 | `P^{-1}AP` | `P^TAP` |
| 主要用于 | 线性变换、特征值 | 二次型 |
| 保特征值 | 是 | 不一定 |
| 保秩 | 是 | 是 |
| 保正负惯性指数 | 不作为主要判据 | 是 |
| 对角化结果 | 特征值对角阵 | 规范形或标准形 |

解题流程

判断合同：

1. 先看矩阵是否为实对称矩阵。 2. 求二次型的正负惯性指数和秩。 3. 两个实对称矩阵合同，当且仅当正惯性指数和负惯性指数相同。

判断相似：

1. 先看特征多项式、特征值。 2. 若是普通矩阵，特征值相同还不够。 3. 若是实对称矩阵，特征多项式相同可推出相似。

例题展示

例：判断：

A=diag(2,3,-1)
B=diag(1,1,-5)

是否合同。

解：

A 的正系数有 2 个，负系数有 1 个：

p=2, q=1

B 的正系数也有 2 个，负系数有 1 个：

p=2, q=1

二者秩都是 3，正负惯性指数相同，所以 A 与 B 在实数域上合同。

但它们特征值不同，因此一般不相似。

易错点

合同和相似不是一回事。二次型题优先想合同；特征值题优先想相似。

题型 13：二次型秩的快速判断

考什么

题目给二次型，问：

二次型的秩是多少？

核心知识点

二次型的秩就是其矩阵 A 的秩：

r(f)=r(A)

也等于标准形中非零平方项的个数。

解题流程

1. 写出二次型矩阵 A。 2. 求 r(A)。 3. 或者若已知标准形，直接数非零平方项。

例题展示

例：二次型标准形为：

5y1^2-2y2^2+0y3^2

则秩为：

因为非零平方项只有两个。

易错点

秩不是变量个数。三元二次型也可能秩为 1、2 或 3。

题型 14：用配方法化二次型为标准形

考什么

有些题不给正交变换，而要求“用可逆线性变换”化标准形。这时常用配方法。

核心知识点

配方法本质是做合同变换：

x=Cy

使：

x^TAx=y^T(C^TAC)y

变为平方和形式。

解题流程

1. 先找含平方项的变量。 2. 把与它有关的交叉项配成一个完整平方。 3. 剩余部分继续配。 4. 若没有平方项但有交叉项，先做变量替换：

x1=y1+y2
x2=y1-y2

把交叉项变成平方差。

5. 最后得到标准形和规范形。

例题展示

例：

f=x1^2+2x1x2+2x1x3

化为标准形。

解：

先围绕 x1 配方：

f=x1^2+2x1(x2+x3)

补平方：

f=(x1+x2+x3)^2-(x2+x3)^2

再展开后半部分：

(x2+x3)^2

令：

y1=x1+x2+x3
y2=x2+x3
y3=x3

则：

f=y1^2-y2^2

标准形为：

y1^2-y2^2+0y3^2

规范形同样为：

z1^2-z2^2

易错点

配方法得到的变换只要求可逆，不要求正交。因此配方法标准形的系数不一定是矩阵特征值。

题型 15：二次型参数题

考什么

题目给含参数二次型：

f_a(x)=...

要求：

求 a 使二次型正定
求 a 使秩为某个数
求 a 使规范形变化

核心知识点

常用入口：

1. 正定：顺序主子式全大于 0。 2. 秩：矩阵 A 的秩，或行列式及子式。 3. 规范形：看特征值符号或顺序主子式符号变化。

解题流程

1. 写出二次型矩阵 A(a)。 2. 若求正定，列顺序主子式不等式：

Δ1>0, Δ2>0, ..., Δn>0

3. 若求秩，先看 |A(a)| 何时为 0，再讨论特殊值。 4. 若求规范形，确定正负惯性指数。

例题展示

例：二次型矩阵：

A=[a 1
   1 2]

求 a 使二次型正定。

解：

A 为实对称矩阵。二阶正定用顺序主子式：

Δ1=a>0
Δ2=|A|=2a-1>0

所以：

a>0 且 a>1/2

合并：

a>1/2

易错点

正定要求顺序主子式全大于 0，不是只要求行列式大于 0。

例如二阶矩阵：

[-1 0
  0 -1]

行列式大于 0，但不是正定。

题型 16：伴随矩阵的特征值

1. 考什么

新错题中有：

设 A 可逆，已知 A 的某个特征值，求 A* 的特征值。

或者：

已知 |A|、A 的特征值，求伴随矩阵 A* 的特征值。

2. 核心知识点

若 A 可逆：

A*=|A|A^{-1}

若：

Ax=λx

且 λ≠0，则：

A^{-1}x=(1/λ)x

所以：

A*x=|A|A^{-1}x=(|A|/λ)x

因此：

A* 对应同一个特征向量 x 的特征值为 |A|/λ

3. 例题讲解

例：设 A 为 3 阶可逆矩阵，|A|=12，且 A 有特征值 λ=3，求 A* 的一个特征值。

解：

因为 A 可逆：

A*=|A|A^{-1}

A 的特征值 3 对应 A^{-1} 的特征值：

1/3

所以 A* 的对应特征值为：

|A|/3=12/3=4

4. 易错点

这个公式要求 A 可逆。如果 A 不可逆，要回到伴随矩阵秩关系：

r(A)=n-1 -> r(A*)=1
r(A)<n-1 -> A*=O

不能直接除以 0 特征值。

题型 17：由 AP=PB 求特征值和对角化

1. 考什么

第五章综合题常给：

P=(x,Ax,A^2x)

或者给：

Aα1, Aα2, Aα3

要求求 B，使：

P^{-1}AP=B

再求 |A+E| 或判断 A 是否可对角化。

2. 核心知识点

如果：

AP=PB

且 P 可逆，则：

P^{-1}AP=B

A 与 B 相似，所以：

A 的特征值 = B 的特征值
|A+E|=|B+E|

3. 例题讲解

设 α1,α2,α3 线性无关，且：

Aα1=α2
Aα2=α3
Aα3=2α1-α2+3α3

令：

P=(α1,α2,α3)

求 P^{-1}AP。

解：

B 的第 1 列是 Aα1=α2 在基 α1,α2,α3 下的坐标：

(0,1,0)^T

B 的第 2 列是 Aα2=α3 的坐标：

(0,0,1)^T

B 的第 3 列是 Aα3=2α1-α2+3α3 的坐标：

(2,-1,3)^T

所以：

B=[0 0  2
   1 0 -1
   0 1  3]

由于：

AP=PB

且 P 可逆，所以：

P^{-1}AP=B

后续求 A 的特征值、行列式、可对角化，都可以转为研究 B。

4. 易错点

这类题最容易把 B 写成行。记住：

Aαi 的坐标放 B 的第 i 列

题型 18：二次型正定的顺序主子式法

1. 考什么

题目给一个含参数二次型矩阵，问：

参数为何值时正定？

2. 核心知识点

对实对称矩阵 A：

A 正定 ⇔ 所有顺序主子式全大于 0

三阶时：

Δ1>0
Δ2>0
Δ3>0

其中：

Δ1=a11
Δ2=|a11 a12; a21 a22|
Δ3=|A|

3. 例题讲解

设：

A=[a 1 0
   1 2 0
   0 0 3]

求 a 使二次型 x^TAx 正定。

解：

顺序主子式：

Δ1=a

Δ2=|a 1
     1 2|=2a-1

Δ3=|A|=3(2a-1)

正定要求：

a>0
2a-1>0
3(2a-1)>0

合并：

a>1/2

4. 易错点

不要只看 |A|>0。二阶以上正定要看全部顺序主子式。

题型 19：二次型合同选择题

1. 考什么

提高题中有：

给矩阵 A，问在实数域上与 A 合同的是哪个矩阵。

2. 核心知识点

实对称矩阵合同的判据：

正惯性指数相同
负惯性指数相同
秩相同

等价于规范形相同。

3. 解题流程

1. 把 A 化为标准形或求特征值符号。 2. 得到正惯性指数 p、负惯性指数 q、零指标。 3. 对选项矩阵也判断 p、q、秩。 4. 选择相同者。

4. 例题讲解

设：

A=diag(2,-3,0)

判断它与哪个矩阵合同。

A 的规范形为：

y1^2-y2^2

也就是：

p=1, q=1, r=2

所以凡是规范形同为：

z1^2-z2^2

的实对称矩阵，都与 A 合同。

例如：

B=diag(5,-1,0)

也有：

p=1, q=1, r=2

所以 A 与 B 合同。

5. 易错点

合同选择题不要比较特征值具体数值，比较正负号和零的个数。

题型 20：第五章提高题，E-αα^T 的秩和不可逆性

原题整理

设 α 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，求矩阵 E-αα^T 的秩。

这题是第五章提高题开头的典型题。

详细求解

因为 α 是单位列向量：

α^Tα=1

先看 α 方向：

(E-αα^T)α=Eα-αα^Tα

由于：

Eα=α
α^Tα=1

所以：

(E-αα^T)α=α-α·1=0

这说明 α 是 E-αα^T 的零特征值方向。

再看与 α 正交的方向。若：

α^Tx=0

则：

(E-αα^T)x=x-α(α^Tx)=x

所以在 α 的正交补上，特征值为 1。

三维空间中，α 的正交补维数是 2，所以矩阵 E-αα^T 的特征值为：

0,1,1

秩等于非零特征值个数：

r(E-αα^T)=2

本题要学什么

看到：

αα^T

不要急着展开成具体矩阵。优先分两个方向：

α 方向
与 α 正交的方向

这是秩 1 矩阵最常用的解题入口。

题型 21：第五章提高题，A^3=O 求 |2E+A|

原题整理

设 n 阶矩阵 A 满足 A^3=O，求 |2E+A|。

详细求解

设 λ 是 A 的任意特征值，对应特征向量 x：

Ax=λx, x≠0

因为：

A^3=O

所以：

A^3x=0

另一方面：

A^3x=λ^3x

因此：

λ^3x=0

由于 x≠0：

λ^3=0

所以：

λ=0

也就是说，A 的所有特征值都是 0。

于是 2E+A 的所有特征值都是：

2+0=2

n 阶矩阵行列式等于全部特征值乘积：

|2E+A|=2^n

本题要学什么

幂零矩阵不一定是零矩阵，但它的特征值一定全是 0。

A^k=O -> A 的特征值全为 0

题型 22：第五章提高题，二次型在正交变换下标准形顺序改变

原题整理

设二次型 f(x1,x2,x3) 在正交变换 x=Py 下的标准形为

λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2

其中 P=(e1,e2,e3)。
若 Q=(e2,e3,e1)，求 f 在正交变换 x=Qz 下的标准形。

详细讲解

正交变换下标准形的平方项系数，和正交矩阵的列向量顺序一一对应。

若：

P=(e1,e2,e3)

对应：

e1 -> λ1
e2 -> λ2
e3 -> λ3

现在：

Q=(e2,e3,e1)

列顺序变成：

第一列 e2
第二列 e3
第三列 e1

所以对应特征值顺序变为：

λ2, λ3, λ1

因此新标准形为：

λ2z1^2+λ3z2^2+λ1z3^2

本题要学什么

二次型本身没有变，变的是正交矩阵列向量顺序，也就是新变量编号。

换列顺序 -> 对角线上特征值同样换顺序

题型 23：第五章提高题，已知标准形证明 A+E 正定

原题整理

已知二次型 f=x^TAx 在正交变换下的标准形为

λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2

并且题目给出 λi 的具体值，要求证明 A+E 为正定矩阵。

详细讲解

若二次型在正交变换下标准形的系数为：

λ1,λ2,λ3

这些系数就是 A 的特征值。

因为：

Q^TAQ=diag(λ1,λ2,λ3)

所以：

A 的特征值为 λ1,λ2,λ3

则 A+E 的特征值为：

λ1+1, λ2+1, λ3+1

若能验证：

λ1+1>0
λ2+1>0
λ3+1>0

则 A+E 的全部特征值为正。

由于 A 是二次型矩阵，是实对称矩阵，A+E 也是实对称矩阵。因此：

A+E 正定

本题要学什么

正交标准形不仅是“化简二次型”，还直接告诉你矩阵的特征值。

正交变换下标准形系数 = 二次型矩阵特征值

证明正定时优先用特征值判据。