第三四章新增笔记与错题增强题型

第三四章新增笔记与错题增强题型

来源：新发的第三章笔记图片、第四章笔记图片、新错题本。 用法：这是在原有 02 到 07 文件基础上的增强版，重点补“笔记里反复强调的解题入口”和“新错题本里出现的新题型”。

题型 1：高斯消元与线性方程组解的判定

考什么

笔记前几页反复出现增广矩阵、阶梯形、行最简形。题目一般会让你：

判断方程组有无解
求通解
讨论参数
求基础解系

这类题的本质是：把方程组变成矩阵，再看主元、自由变量和矛盾行。

核心知识点

对线性方程组：

Ax=b

增广矩阵为：

[A | b]

初等行变换不改变方程组的解集。

判定表：

| 阶梯形现象 | 结论 |
| --- | --- |
| 出现 `0 0 ... 0 | c`，且 `c≠0` | 无解 |
| 无矛盾行，主元数 = 未知数个数 | 唯一解 |
| 无矛盾行，主元数 < 未知数个数 | 无穷多解 |

也可以写成秩语言：

| 条件 | 结论 |
| --- | --- |
| `r(A)<r(A,b)` | 无解 |
| `r(A)=r(A,b)=n` | 唯一解 |
| `r(A)=r(A,b)<n` | 无穷多解 |

解题流程

1. 写增广矩阵 [A|b]。 2. 做初等行变换，化成阶梯形或行最简形。 3. 先找矛盾行。 4. 没有矛盾行，再数主元。 5. 主元列对应基本变量，非主元列对应自由变量。 6. 用自由变量表示基本变量，写出通解。

例题展示

例：讨论方程组：

x1 + x2 + x3 = 1
2x1 + 3x2 + x3 = 2
x1 + 2x2 + ax3 = b

的解。

解：

写增广矩阵：

[1 1 1 | 1
 2 3 1 | 2
 1 2 a | b]

行变换：

R2 <- R2-2R1
R3 <- R3-R1

得：

[1 1 1   | 1
 0 1 -1  | 0
 0 1 a-1 | b-1]

再做：

R3 <- R3-R2

得：

[1 1 1 | 1
 0 1 -1 | 0
 0 0 a | b-1]

于是分情况：

1. 若 a≠0，第三行有主元，三个未知数都有主元，唯一解。 2. 若 a=0 且 b-1≠0，出现：

0=非零数

无解。

3. 若 a=0 且 b=1，第三行为零行，主元数为 2，小于未知数 3，无穷多解。

此时令：

x3=t

第二行：

x2-x3=0 -> x2=t

第一行：

x1+x2+x3=1 -> x1=1-2t

通解：

x=(1,0,0)^T+t(-2,1,1)^T

易错点

1. 参数题不要只算行列式。行列式为 0 时还要继续看增广矩阵是否矛盾。 2. 有自由变量不等于无解；有矛盾行才无解。 3. 通解必须写“特解 + 齐次解”，非齐次题不要只写齐次部分。

题型 2：行阶梯形中主元列与极大无关组

考什么

笔记里多次出现矩阵行变换后圈主元位置。题目一般问：

求向量组秩
求一个极大线性无关组
把其余向量用极大无关组表示

核心知识点

把向量组按列组成矩阵：

A=(α1,α2,...,αs)

对 A 做初等行变换：

A -> 阶梯形矩阵

非零行数是秩；主元列编号对应原向量组中的极大无关组。

解题流程

1. 向量按列放成矩阵。 2. 行变换化阶梯形。 3. 数非零行，得到秩。 4. 看阶梯形中主元列编号。 5. 回到原向量组取对应列，组成极大无关组。 6. 若要表示其余向量，解线性方程：

待表示向量 = k1主元向量1 + ... + kr主元向量r

例题展示

例：设：

α1=(1,1,0)^T
α2=(2,1,1)^T
α3=(3,2,1)^T
α4=(1,0,1)^T

求秩和一个极大无关组。

解：

按列组成矩阵：

A=[1 2 3 1
   1 1 2 0
   0 1 1 1]

行变换：

R2 <- R2-R1

得：

[1  2  3  1
 0 -1 -1 -1
 0  1  1  1]

再：

R3 <- R3+R2

得：

[1  2  3  1
 0 -1 -1 -1
 0  0  0  0]

非零行数为 2，所以：

r(α1,α2,α3,α4)=2

主元列为第 1、2 列，所以一个极大无关组是：

α1, α2

若要表示 α3：

α3=k1α1+k2α2

观察：

α3=(3,2,1)^T=1α1+1α2

所以：

α3=α1+α2

易错点

主元列编号可以从行变换后的矩阵看，但极大无关组必须回到原矩阵取原列向量。

题型 3：线性相关的“定义法”与“秩法”切换

考什么

笔记里对线性相关、线性无关的定义写得很重，新错题里也有很多概念判断。常见问法：

已知一个线性组合等于 0，判断是否相关
已知能否互相表示，判断相关无关
给一组抽象向量组合，判断新向量组相关性

核心知识点

定义法：

k1α1+...+ksαs=0

若存在不全为 0 的系数，则相关；若只有全 0 系数，则无关。

秩法：

α1,...,αs 无关 ⇔ r(α1,...,αs)=s
α1,...,αs 相关 ⇔ r(α1,...,αs)<s

什么时候用定义法

题目给抽象表达式，不能具体消元时，用定义法。

例如：

β1=α1-α2
β2=α2-α3
β3=α3-α1

一眼相加：

β1+β2+β3=0

所以相关。

什么时候用秩法

题目给具体坐标或矩阵时，用秩法。

例题展示

例：已知 α1,α2,α3 线性无关，判断：

β1=α1+α2
β2=α2+α3
β3=α3+α1

是否线性无关。

解法 1：设线性组合为 0：

k1β1+k2β2+k3β3=0

代入：

k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0

整理：

(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0

因为 α1,α2,α3 线性无关，所以：

k1+k3=0
k1+k2=0
k2+k3=0

解得：

k1=k2=k3=0

因此 β1,β2,β3 线性无关。

解法 2：系数矩阵法。

写：

(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C

其中：

C=[1 0 1
   1 1 0
   0 1 1]

计算：

|C|=2≠0

所以新向量组无关。

易错点

如果是：

α1-α2, α2-α3, α3-α1

三者相加为 0，所以相关。

如果是：

α1+α2, α2+α3, α3+α1

反而无关。符号变化会改变结论，不能凭感觉。

题型 4：正交矩阵证明题

考什么

新错题本中出现：

设 A、B 为正交阵，证明某些由 A、B 构造的矩阵仍为正交阵。

核心知识点

矩阵 Q 为正交矩阵：

Q^TQ=E

等价于：

Q^{-1}=Q^T

若 A、B 都正交，则：

AB 也正交
A^{-1} 也正交
A^T 也正交

因为：

(AB)^T(AB)=B^TA^TAB=B^TEB=E

解题流程

1. 设要证明的矩阵为 C。 2. 计算 C^TC。 3. 用已知 A^TA=E、B^TB=E 化简。 4. 若结果为 E，则 C 是正交矩阵。

例题展示

例：设 A、B 为 n 阶正交矩阵，证明 AB 为正交矩阵。

证明：

因为 A、B 正交，所以：

A^TA=E, B^TB=E

令：

C=AB

则：

C^TC=(AB)^T(AB)=B^TA^TAB

由 A^TA=E 得：

C^TC=B^TEB=B^TB=E

所以 AB 为正交矩阵。

易错点

证明正交矩阵时，不要只说“正交矩阵乘正交矩阵还是正交矩阵”。考试答题要写 C^TC=E 的计算。

题型 5：由矩阵方程 f(A)=0 推特征值

考什么

新错题本出现：

A^2-2A-8E=0，但 A 不是数量矩阵，证明 -2 和 4 都是 A 的特征值。

以及：

A^2=E，证明 A 的特征值只能是 1 或 -1。

这类题考“矩阵多项式”和“特征值代入”。

核心知识点

若：

Ax=λx, x≠0

则对多项式 f：

f(A)x=f(λ)x

如果：

f(A)=O

则：

f(λ)=0

所以 A 的特征值只能从 f(λ)=0 的根里选。

解题流程

1. 把矩阵方程写成：

f(A)=O

2. 设 λ 是 A 的任意特征值。 3. 取对应特征向量 x，满足 Ax=λx。 4. 左作用在 x 上：

f(A)x=f(λ)x=0

5. 因 x 非零，得到：

f(λ)=0

6. 解标量方程，得到可能特征值。

例题展示

例：设 n 阶矩阵 A 满足：

A^2=E

证明 A 的特征值只能是 1 或 -1。

证明：

设 λ 是 A 的一个特征值，x 是对应特征向量，则：

Ax=λx, x≠0

由 A^2=E，两边作用于 x：

A^2x=Ex=x

另一方面：

A^2x=A(Ax)=A(λx)=λAx=λ^2x

所以：

λ^2x=x

即：

(λ^2-1)x=0

因为 x≠0，所以：

λ^2-1=0

解得：

λ=1 或 λ=-1

易错点

f(A)=0 只能说明特征值是 f(λ)=0 的根；如果题目还要求证明某些根“一定都是特征值”，通常要额外利用“不是数量矩阵”“最小多项式”“矩阵阶数”等条件。

题型 6：不是数量矩阵时，矩阵多项式的两个根都要出现

考什么

题目：

A^2-2A-8E=0，但 A 不是数量矩阵，证明 -2 与 4 都是 A 的特征值。

这是上一题型的加强版。

核心知识点

先分解：

A^2-2A-8E=(A-4E)(A+2E)=O

所以特征值只能是：

4 或 -2

如果只有一个特征值，并且矩阵满足相应一次多项式，就会变成数量矩阵。

解题流程

1. 先证明 A 的特征值只能属于 {4,-2}。 2. 假设只有一个特征值。 3. 若只有 4，则在该题条件下会迫使最小多项式只含 λ-4，即 A=4E。 4. 若只有 -2，则会迫使 A=-2E。 5. 这都与“不是数量矩阵”矛盾。 6. 所以两个特征值都要出现。

例题展示

证明思路可写为：

由：

A^2-2A-8E=O

得：

(A-4E)(A+2E)=O

所以 A 的最小多项式整除：

(λ-4)(λ+2)

若 A 没有特征值 -2，则最小多项式只能整除 λ-4，于是：

A-4E=O -> A=4E

与 A 不是数量矩阵矛盾。

若 A 没有特征值 4，则最小多项式只能整除 λ+2，于是：

A+2E=O -> A=-2E

仍矛盾。

因此：

-2 与 4 都是 A 的特征值

易错点

只写“特征值可能为 -2 或 4”不够。题目要求证明二者都是特征值，必须用“不是数量矩阵”排除只出现一个根的情况。

题型 7：实对称矩阵相似的充要条件

考什么

新错题本证明题：

A、B 都是 n 阶实对称矩阵，证明 A 与 B 相似的充要条件是 A 与 B 有相同的特征多项式。

核心知识点

一般矩阵：

相似 -> 特征多项式相同

但反过来不一定成立。

实对称矩阵特殊：

实对称矩阵一定可正交对角化

所以它们都相似于由特征值构成的对角矩阵。若特征多项式相同，说明特征值连同重数完全相同，因此相似于同一个对角矩阵。

解题流程

必要性：

1. 若 A 与 B 相似，则存在可逆 P：

B=P^{-1}AP

2. 相似矩阵特征多项式相同。

充分性：

1. A、B 实对称，所以都可正交对角化。 2. 若特征多项式相同，则特征值及重数相同。 3. A、B 都相似于同一个对角矩阵：

diag(λ1,...,λn)

4. 所以 A 与 B 相似。

例题展示

证明充分性：

因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q1，使：

Q1^TAQ1=D

即：

A~D

同理，存在正交矩阵 Q2，使：

Q2^TBQ2=D'

若 A 与 B 的特征多项式相同，则 D 与 D' 的对角元素只是排列顺序可能不同。调整特征向量顺序后，可认为：

D=D'

所以：

A~D, B~D

由相似的传递性：

A~B

易错点

这条“特征多项式相同就相似”只在实对称矩阵这里成立。普通矩阵不能这样用。

题型 8：实对称矩阵正交对角化的完整流程

考什么

笔记和新错题里都有：

求正交矩阵 P，使 P^{-1}AP 或 P^TAP 为对角矩阵。

如果 A 是实对称矩阵，就要用正交对角化。

核心知识点

实对称矩阵 A 满足：

A=A^T

一定存在正交矩阵 Q，使：

Q^TAQ=Λ

其中 Λ 是特征值对角矩阵。

解题流程

1. 求特征多项式 |λE-A|。 2. 求所有特征值。 3. 对每个特征值 λ，解：

(λE-A)x=0

4. 得到特征向量。 5. 如果某个特征值对应多个线性无关特征向量，要在该特征子空间内正交化。 6. 把所有特征向量单位化。 7. 用单位正交特征向量作列，组成 Q。 8. Λ 的对角线按 Q 的列向量顺序写对应特征值。

例题展示

例：求实对称矩阵：

A=[2 2 -2
   2 5 -4
  -2 -4 5]

的正交对角化流程。

解题不必先急着算完所有数字，标准过程是：

第一步，写特征方程：

|λE-A|=0

第二步，求出特征值。若出现二重特征值，比如：

λ1 是二重根，λ2 是单根

第三步，对每个特征值求特征向量：

(λ1E-A)x=0
(λ2E-A)x=0

第四步，如果 λ1 的特征子空间有两个线性无关向量：

u1,u2

则对它们做施密特正交化：

v1=u1
v2=u2 - (u2^Tv1 / v1^Tv1)v1

第五步，单位化：

q1=v1/||v1||
q2=v2/||v2||
q3=u3/||u3||

第六步，组成：

Q=(q1,q2,q3)

则：

Q^TAQ=diag(λ1,λ1,λ2)

易错点

1. 普通相似对角化用 P^{-1}AP=D；正交对角化用 Q^TAQ=D。 2. 对实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量自动正交；同一重特征值下选出的多个向量不一定正交，需要正交化。 3. Q 必须是正交矩阵，所以列向量不仅要正交，还要单位化。

题型 9：不同特征值对应特征向量线性无关

考什么

新错题有：

设 λ1,λ2 是 A 的两个不同特征值，α1,α2 分别为对应特征向量，判断 k1α1+k2α2 是否可能还是 A 的特征向量。

核心知识点

不同特征值对应的特征向量线性无关。

如果：

Aα1=λ1α1
Aα2=λ2α2
λ1≠λ2

则 α1+α2 一般不是 A 的特征向量。

解题流程

要判断：

β=k1α1+k2α2

是否可能为特征向量，设：

Aβ=μβ

则：

k1λ1α1+k2λ2α2=μ(k1α1+k2α2)

整理：

k1(λ1-μ)α1+k2(λ2-μ)α2=0

由于 α1,α2 线性无关：

k1(λ1-μ)=0
k2(λ2-μ)=0

若 k1,k2 都不为 0，则：

μ=λ1 且 μ=λ2

与 λ1≠λ2 矛盾。

所以非零组合中若两个系数都不为 0，通常不是特征向量。

例题展示

例：若 α1 属于特征值 1，α2 属于特征值 2，判断：

α1+α2

是否为 A 的特征向量。

解：

假设 α1+α2 是 A 的特征向量，对应特征值 μ，则：

A(α1+α2)=μ(α1+α2)

左边：

Aα1+Aα2=1α1+2α2

所以：

α1+2α2=μα1+μα2

即：

(1-μ)α1+(2-μ)α2=0

由于 α1,α2 线性无关：

1-μ=0
2-μ=0

矛盾。

所以 α1+α2 不是 A 的特征向量。

易错点

同一特征值的特征向量线性组合仍是该特征值的特征向量，前提是组合结果非零。

不同特征值的特征向量相加，一般不是特征向量。

题型 10：行和相等推出特征值

考什么

新错题里出现：

n 阶矩阵每一行元素之和都等于 a，则 A 必有一个特征值是什么？

核心知识点

令：

e=(1,1,...,1)^T

若 A 的每一行元素之和都等于 a，则：

Ae=ae

所以 a 是 A 的特征值，e 是对应特征向量。

解题流程

1. 写全 1 向量 e。 2. 计算 Ae。 3. 每一行点乘 e，就是该行元素之和。 4. 若每行和为 a，则 Ae=ae。 5. 得出 a 是特征值。

例题展示

例：若三阶矩阵 A 每行元素之和为 5，求 A 的一个特征值。

解：

取：

e=(1,1,1)^T

因为每行元素之和为 5，所以：

Ae=(5,5,5)^T=5e

因此：

5 是 A 的一个特征值

易错点

每一行和相等，用右乘全 1 列向量：

Ae=ae

每一列和相等，则对应的是：

e^TA=ae^T

也能推出 a 是特征值，但特征向量方向不同。

题型 11：线性变换的不变子空间证明

考什么

新错题本中出现证明题：

设 A、B 都是线性空间 V 的线性变换，且 AB=BA，证明 B(V) 是 A 的不变子空间。

这类题虽然看起来抽象，但套路很固定。

核心知识点

子空间 W 是 A 的不变子空间，指：

对任意 w∈W，都有 A(w)∈W

也就是 A 作用后仍留在 W 里面。

B(V) 表示 B 的值域：

B(V)={Bv | v∈V}

解题流程

1. 任取 β∈B(V)。 2. 根据值域定义，存在 v∈V，使：

β=Bv

3. 计算 Aβ：

Aβ=A(Bv)

4. 用 AB=BA 换序：

A(Bv)=B(Av)

5. 因为 Av∈V，所以 B(Av)∈B(V)。 6. 得 Aβ∈B(V)，证明完成。

例题讲解

证明：

任取：

β∈B(V)

由值域定义，存在 v∈V，使：

β=Bv

于是：

Aβ=A(Bv)

因为：

AB=BA

所以：

A(Bv)=B(Av)

又因为 A 是 V 上的线性变换，所以：

Av∈V

从而：

B(Av)∈B(V)

即：

Aβ∈B(V)

所以 B(V) 是 A 的不变子空间。

易错点

证明“不变子空间”不要先去证明它是子空间，题目常默认值域 B(V) 已经是子空间。关键是证明：

A 作用后仍在 B(V) 中

题型 12：分块矩阵相似证明

考什么

新错题本中出现分块矩阵证明：

若 A 与 A1 相似，B 与 B1 相似，证明 diag(A,B) 与 diag(A1,B1) 相似。

核心知识点

若：

A1=P^{-1}AP
B1=Q^{-1}BQ

则构造分块对角矩阵：

S=[P 0
   0 Q]

它可逆，且：

S^{-1}=[P^{-1} 0
        0 Q^{-1}]

解题流程

1. 根据相似定义写出两个可逆矩阵 P、Q。 2. 构造分块可逆矩阵 S。 3. 计算：

S^{-1} diag(A,B) S

4. 用分块乘法得到：

diag(P^{-1}AP, Q^{-1}BQ)

5. 化为：

diag(A1,B1)

例题讲解

设：

A1=P^{-1}AP
B1=Q^{-1}BQ

令：

S=[P 0
   0 Q]

则：

S^{-1}=[P^{-1} 0
        0 Q^{-1}]

计算：

S^{-1}[A 0
       0 B]S
= [P^{-1} 0
   0 Q^{-1}]
  [A 0
   0 B]
  [P 0
   0 Q]

先乘后两项：

[A 0
 0 B]
[P 0
 0 Q]
= [AP 0
   0 BQ]

再左乘：

[P^{-1}AP 0
 0 Q^{-1}BQ]
= [A1 0
   0 B1]

所以两个分块对角矩阵相似。

易错点

分块相似证明的核心是构造：

S=diag(P,Q)

不要试图把 P、Q 直接相加或拼成普通乘积。

题型 13：可对角化但特征值有重根的判断

考什么

错题本中有：

三阶实矩阵有二重特征值，且给出两个属于该特征值的特征向量，问矩阵是否可对角化。

核心知识点

三阶矩阵若特征值结构为：

λ1（二重），λ2（单重）

则可对角化需要：

λ1 对应 2 个线性无关特征向量
λ2 对应 1 个特征向量

单重特征值必有 1 个线性无关特征向量。

因此关键看二重特征值是否有 2 个线性无关特征向量。

例题讲解

设 A 为三阶矩阵，λ 是二重特征值，且 α1,α2 都是属于 λ 的特征向量，并且：

α1,α2 线性无关

另一个特征值 μ 与 λ 不同。

由于 μ 是单重特征值，至少有一个对应特征向量 α3。

不同特征值对应特征向量线性无关，所以：

α1,α2,α3

线性无关。

于是 A 有 3 个线性无关特征向量，可以相似对角化。

易错点

二重特征值不是坏事。坏的是“二重特征值只对应 1 个线性无关特征向量”。

题型 14：错题本原题，正交对角化的完整计算题怎么写

原题整理

求一个正交矩阵 P，使 P^{-1}AP 为对角矩阵，其中

A = [ 2  2 -2
      2  5 -4
     -2 -4  5 ]

注意：A 是实对称矩阵，所以这里虽然写 P^{-1}AP，但可以取 P 为正交矩阵，此时：

P^{-1}=P^T

也就是求：

P^TAP=D

解题步骤 1：先确认用正交对角化

观察：

A^T=A

所以 A 是实对称矩阵，一定可以正交对角化。

这一步很重要：如果不是实对称矩阵，就不能随便要求 P 正交。

解题步骤 2：求特征值

计算：

|λE-A|=0

这一步实际做题时按三阶行列式展开或行列变换化简。假设求得特征值结构为：

λ1（二重），λ2（单重）

原错题答案中也强调：二重特征值对应的特征向量需要在同一特征子空间内正交化。

解题步骤 3：求每个特征值对应的特征向量

对每个特征值 λ，解：

(λE-A)x=0

如果 λ 是二重根，理论上需要得到 2 个线性无关特征向量：

u1,u2

单重特征值对应一个特征向量：

u3

解题步骤 4：同一特征值下做正交化

实对称矩阵中，不同特征值对应的特征向量自动正交。

但同一个二重特征值下求出来的 u1,u2 不一定正交，所以要做施密特正交化：

v1=u1
v2=u2-(u2^Tv1 / v1^Tv1)v1

解题步骤 5：单位化

q1=v1/||v1||
q2=v2/||v2||
q3=u3/||u3||

组成：

P=(q1,q2,q3)

则 P 是正交矩阵。

解题步骤 6：写对角矩阵

如果 q1,q2 属于二重特征值 λ1，q3 属于 λ2，则：

P^TAP=diag(λ1,λ1,λ2)

本题要学什么

这题不是只考“会不会算特征值”，它完整考了：

实对称矩阵 -> 可正交对角化
重特征值 -> 特征子空间内找足够多个特征向量
同一特征值下多个向量 -> 可能要施密特正交化
单位化 -> 才能组成正交矩阵

如果只写出普通可逆 P，而没单位化，就不是题目要求的“正交矩阵”。

题型 15：错题本原题，已知 A 相似于对角阵求参数

原题整理

已知矩阵 A 含参数 x,y，A 的特征值包含 -1、1，
且 A 相似于对角阵，求 x,y。

原答案思路中用到了两个条件：

1. λ=1 是特征值 -> det(A-E)=0
2. λ=-1 是特征值 -> det(A+E)=0

再用“相似于对角阵”排除特征向量不够的情况。

解题步骤

第一步，由特征值条件列方程。

若 λ=1 是 A 的特征值，则：

|A-E|=0

若 λ=-1 是 A 的特征值，则：

|A+E|=0

这两个行列式通常会给出关于 x、y 的方程。

第二步，解出参数。

原错题答案中类似得到：

x=-1
y=-3

第三步，验证可对角化条件。

如果代入参数后 A 的三个特征值互不相同，例如：

-1, 1, -2

那么 A 有 3 个线性无关特征向量，一定可相似对角化。

本题要学什么

这类题不要一上来就求所有特征向量。先用：

λ 是特征值 ⇔ |λE-A|=0

把参数求出来。

然后再检查“相似于对角阵”是否满足：

是否有 n 个线性无关特征向量

若特征值互异，则直接满足。