第三章向量与线性方程组知识点题型总复习

第三章：向量与线性方程组知识点题型总复习

> 定位：这一章不是单纯学“消元”，而是把“向量组、矩阵、方程组、秩、解空间”连成一条线。 > 复习方式：先理解对象之间的翻译关系，再按题型判断入口。

一、本章总览：第三章到底在解决什么

第三章的核心问题可以压缩成一句话：

一组向量能不能表示另一个向量？
等价地，一个线性方程组有没有解？
再等价地，相关矩阵的秩是否增加？

最重要的翻译链：

β 能由 α1,...,αs 线性表示
⇔ 存在 x1,...,xs，使 x1α1+...+xsαs=β
⇔ 矩阵方程 Ax=β 有解
⇔ r(A)=r(A,β)

其中：

A=(α1,α2,...,αs)

所以第三章所有题型，本质都在围绕三件事转：

线性表示
线性相关
秩

方程组只是它们的另一种写法。

二、本章核心对象

1. 向量组

向量组：

α1, α2, ..., αs

可以理解成一批“方向材料”。题目问它能干什么，本质是问：

这些向量张成的空间有多大？
有没有冗余？
能不能拼出某个目标向量？

2. 矩阵

把向量按列放进矩阵：

A=(α1,α2,...,αs)

那么：

Ax=x1α1+x2α2+...+xsαs

矩阵乘法 Ax 就是列向量的线性组合。

3. 齐次方程组

Ax=0

它问的是：

A 的列向量能不能用不全为 0 的系数组合成零向量？

所以：

Ax=0 有非零解 ⇔ A 的列向量组线性相关
Ax=0 只有零解 ⇔ A 的列向量组线性无关

4. 非齐次方程组

Ax=b

它问的是：

b 能不能由 A 的列向量组线性表示？

所以：

Ax=b 有解 ⇔ b 可由 A 的列向量组线性表示 ⇔ r(A)=r(A,b)

三、本章知识地图

向量线性组合
    ↓
线性表示
    ↓
Ax=b 是否有解
    ↓
r(A)=r(A,b)

线性相关/无关
    ↓
Ax=0 是否有非零解
    ↓
r(A) 是否等于列数

极大无关组
    ↓
向量组中真正有用的“骨架”
    ↓
秩

理解这个图之后，很多题其实是在换说法。

四、线性表示：最基础但最容易混的概念

定义

若存在数 k1,...,ks，使：

β=k1α1+k2α2+...+ksαs

则称 β 可由 α1,...,αs 线性表示。

方程组语言

把 α1,...,αs 按列组成 A，则：

β 可由 α 组表示 ⇔ Ax=β 有解

秩语言

β 可由 α 组表示 ⇔ r(α1,...,αs)=r(α1,...,αs,β)

意思是：把 β 加进去之后，向量组的秩没有变，说明 β 没有提供新方向。

题型入口

看到：

能否表示
是否可由...线性表示
是否在某向量组张成的空间中

优先想：

r(A)=r(A,b)

或者直接解：

Ax=b

例题讲解

例：判断：

β=(3,2,1)^T

能否由：

α1=(1,0,1)^T, α2=(1,1,0)^T

线性表示。

解：

设：

β=x1α1+x2α2

即：

x1(1,0,1)^T+x2(1,1,0)^T=(3,2,1)^T

比较分量：

x1+x2=3
x2=2
x1=1

这三式相容，所以：

x1=1, x2=2

因此：

β=α1+2α2

β 可以由 α1,α2 线性表示。

五、线性相关与线性无关

定义

向量组 α1,...,αs 线性相关，指存在不全为 0 的数 k1,...,ks，使：

k1α1+k2α2+...+ksαs=0

线性无关，指只有：

k1=k2=...=ks=0

时上式才成立。

方程组语言

α1,...,αs 线性相关 ⇔ Ax=0 有非零解
α1,...,αs 线性无关 ⇔ Ax=0 只有零解

秩语言

α1,...,αs 线性无关 ⇔ r(A)=s
α1,...,αs 线性相关 ⇔ r(A)<s

其中 s 是向量个数。

维数快速判断

在 n 维空间中：

1. 情况
2. 结论
---
1. 向量个数 s>n
2. 一定线性相关
---
1. 向量个数 s=n
2. 看行列式或秩
---
1. 向量个数 s<n
2. 不一定，需要判断

例题讲解

例：三个二维向量是否可能线性无关？

解：

二维空间中最多只能有 2 个线性无关向量。

若有 3 个二维向量，则向量个数大于维数：

s=3>2=n

所以一定线性相关。

易混点

“两两不成比例”只能保证任意两个向量无关，不能保证三个及以上整体无关。

反例：

α1=(1,0)^T
α2=(0,1)^T
α3=(1,1)^T

任意两个都不成比例，但三个二维向量整体一定相关。

六、线性表示与线性相关的关键对比

这是你之前特别提到的易混点。

结论 1：β 可由 α 组表示，则增广组一定相关

若：

β=k1α1+...+ksαs

移项：

k1α1+...+ksαs-β=0

其中 β 的系数是 -1，不为 0，所以：

α1,...,αs,β 线性相关

注意：不要求原来的 α1,...,αs 无关。

结论 2：无关组增广后是否无关，要看新向量能不能被表示

若 α1,...,αs 线性无关：

1. β 与原组关系
2. 增广组结论
---
1. β 可由原组表示
2. α1,...,αs,β 相关
---
1. β 不可由原组表示
2. α1,...,αs,β 无关

一句话区分

“β 已能表示” -> 加进去必相关。
“原组无关，问加 β 后怎样” -> 看 β 是否能表示。

七、秩：第三章的核心计数器

秩是什么

向量组的秩：

极大线性无关组所含向量个数

矩阵的秩：

行秩 = 列秩 = 非零行阶梯形中非零行个数

秩的直观理解

秩表示“真正独立的方向个数”。

例如：

α3=α1+α2

则 α3 没有提供新方向，所以：

r(α1,α2,α3)=r(α1,α2)

秩的常用结论

1. 结论
2. 含义
---
1. r(A)≤min(m,n)
2. 秩不能超过行数和列数
---
1. r(A)=列数
2. 列向量组线性无关
---
1. r(A)<列数
2. 列向量组线性相关
---
1. r(A)=行数
2. 行向量组线性无关
---
1. r(A)<行数
2. 行向量组线性相关
---
1. 初等行变换不改变秩
2. 可用消元求秩
---
1. 初等列变换不改变秩
2. 但求列极大无关组时要小心

八、极大无关组

定义

向量组中的一个部分组，如果满足：

1. 自身线性无关；
2. 原向量组中每个向量都能由它线性表示；

则它是原向量组的极大线性无关组。

判定法

一个部分组是极大无关组，当且仅当：

部分组线性无关
且
部分组的秩 = 原向量组的秩

求法

1. 把向量按列组成矩阵。
2. 做初等行变换化为阶梯形。
3. 主元列对应原矩阵中的列向量。
4. 这些原列向量构成一个极大无关组。

易错点

行变换后的主元列编号可以用，但极大无关组要取原矩阵的列，不取变换后的列。

九、向量组等价

定义

两个向量组 A、B 等价，指：

A 中每个向量都可由 B 表示
B 中每个向量都可由 A 表示

等价与秩的关系

向量组等价 -> 秩相同
秩相同 -/> 向量组等价

反例：

(1,0)^T 与 (0,1)^T

秩都为 1，但不能互相表示。

什么时候同秩能推出等价

如果 A 是 B 的部分组，且：

r(A)=r(B)

则 A 与 B 等价。

原因：

B 比 A 多出来的向量没有增加秩
说明多出来的向量都能由 A 表示

十、齐次线性方程组 Ax=0

主线

齐次方程组研究的是列向量之间有没有非平凡线性关系。

Ax=0
⇔ x1α1+...+xnαn=0

核心公式

若 A 是 m×n 矩阵：

基础解系个数 = n-r(A)
解空间维数 = n-r(A)

解结构

若基础解系为：

ξ1,...,ξt

则通解为：

x=k1ξ1+...+ktξt

题型入口

看到：

基础解系
自由变量
解空间维数
齐次通解

先找：

n-r(A)

十一、非齐次线性方程组 Ax=b

主线

非齐次方程组研究的是目标向量 b 能不能被列向量拼出来。

有解判据

Ax=b 有解 ⇔ r(A)=r(A,b)

解的情况

1. 条件
2. 结论
---
1. r(A)<r(A,b)
2. 无解
---
1. r(A)=r(A,b)=n
2. 唯一解
---
1. r(A)=r(A,b)<n
2. 无穷多解

通解结构

若 η 是 Ax=b 的一个特解，ξ1,...,ξt 是导出组 Ax=0 的基础解系，则：

x=η+k1ξ1+...+ktξt

非齐次解的运算

若 η1,η2 是 Ax=b 的解，则：

η1-η2 是 Ax=0 的解

若 η 是 Ax=b 的解，ξ 是 Ax=0 的解，则：

η+ξ 是 Ax=b 的解

但：

η1+η2 一般不是 Ax=b 的解

因为：

A(η1+η2)=2b

十二、第三章证明题套路

证明相关

目标：

证明 α1,...,αs 线性相关

常用方法：

1. 找一个不全为 0 的线性组合等于 0。
2. 证明某个向量能由其余向量线性表示。
3. 证明向量个数大于空间维数。
4. 证明秩小于向量个数。

证明无关

目标：

证明 α1,...,αs 线性无关

常用方法：

1. 设 k1α1+...+ksαs=0，推出所有 ki=0。
2. 证明对应齐次方程只有零解。
3. 证明秩等于向量个数。

证明等价

目标：

证明两个向量组等价

常用方法：

1. 分别证明 A 可由 B 表示，B 可由 A 表示。
2. 若 A 是 B 的部分组，只需证明 r(A)=r(B)。
3. 若能证明 r(A)=r(B)=r(A,B)，也可推出等价。

十三、第三章必须讲清楚的 30 个点

1. 线性组合就是用系数拼向量。
2. 线性表示就是某个向量能被一组向量拼出来。
3. Ax=b 是“b 能否由 A 的列向量表示”的矩阵写法。
4. Ax=0 是“列向量是否相关”的矩阵写法。
5. 线性相关要求存在不全为 0 的零组合。
6. 线性无关要求只有全 0 系数才能组合成零。
7. β 可由 α 组表示，则 α 组加 β 一定相关。
8. 无关组加 β 后是否无关，取决于 β 是否可由原组表示。
9. 整体无关能推出任意部分组无关。
10. 部分相关能推出整体相关。
11. 整体相关不能推出任意部分组相关。
12. 部分无关不能推出整体无关。
13. 秩表示最大无关向量个数。
14. 行秩等于列秩。
15. 初等行变换不改变秩。
16. 求列极大无关组时，主元列编号对应原矩阵列。
17. 向量组等价是互相线性表示。
18. 等价一定同秩。
19. 同秩不一定等价。
20. r(A)=r(A,b) 是非齐次方程组有解条件。
21. r(A)<r(A,b) 表示无解。
22. r(A)=n 表示 Ax=0 只有零解。
23. r(A)<n 表示 Ax=0 有非零解。
24. 齐次解集是向量空间。
25. 非齐次解集一般不是向量空间。
26. 基础解系个数是 n-r(A)。
27. 非齐次通解是“特解 + 齐次通解”。
28. 两个非齐次解相减是齐次解。
29. 公共解问题要联立两个方程组。
30. 参数题要对导致主元为 0 的值单独讨论。

十四、本章一句话总结

第三章的核心是把“向量能否表示、向量组是否相关、方程组是否有解”统一成秩的问题。