线性代数错题本
正交、特征值与相似对角化题型
正交、特征值与相似对角化题型
来源：补充习题中的正交、规范正交基、正交矩阵、特征值、相似对角化相关概念题；错题集中与相似、秩、满秩变换相关的题。 目标：把第四章中容易混的概念题和计算题整理成判断方法。
题型 1：内积、正交与长度的概念判断
考什么
概念题常问：
零向量与任何向量是否正交？
两个向量内积为 0 是否正交？
长度为 0 的向量是什么？
任何向量能否单位化？核心知识点
向量内积：
α^Tβ向量长度：
||α||=sqrt(α^Tα)正交：
α^Tβ=0必背结论：
| 命题 | 判断 |
| --- | --- |
| 零向量与任何向量正交 | 正确 |
| 长度为 0 的向量一定是零向量 | 正确 |
| 长度为 1 的向量是单位向量 | 正确 |
| 任何向量都可以单位化 | 错误，零向量不能单位化 |
| n 维向量也有长度概念 | 正确 |解题流程
1. 看到“正交”，转为内积是否为 0。 2. 看到“长度”，转为 sqrt(α^Tα)。 3. 看到“单位化”，先检查是否为零向量。
例题展示
例：判断“任何向量都可以单位化”是否正确。
解：
非零向量 α 可以单位化为：
α / ||α||但零向量满足：
||0||=0不能除以 0，所以零向量不能单位化。
因此命题错误。
题型 2：正交向量组与规范正交基
考什么
题目常问：
某向量组是否正交？
是否为规范正交基？
基本单位向量组是不是规范正交基？核心知识点
正交向量组：
任意两个不同向量内积为 0规范正交向量组：
两两正交，且每个向量长度为 1规范正交基：
既是某空间的一组基，又是规范正交向量组解题流程
1. 先检查向量个数是否够成为该空间的基。 2. 检查两两内积是否为 0。 3. 检查每个向量长度是否为 1。 4. 若在 R^n 中有 n 个规范正交向量，则一定是 R^n 的规范正交基。
例题展示
例：判断 R^3 中基本单位向量组：
e1=(1,0,0)^T, e2=(0,1,0)^T, e3=(0,0,1)^T是否为规范正交基。
解：
两两内积：
e1^Te2=0, e1^Te3=0, e2^Te3=0每个向量长度：
||e1||=||e2||=||e3||=1并且它们是 R^3 的一组基。
所以它们是 R^3 的规范正交基。
易错点
“正交”不等于“规范正交”。正交只要求内积为 0；规范正交还要求长度为 1。
题型 3：正交矩阵概念判断
考什么
补充习题中有正交矩阵多选题，常考：
Q^TQ=E
Q^{-1}=Q^T
|Q|=±1
列向量组是规范正交基
正交变换是否保持长度和角度
kQ 是否仍为正交矩阵核心知识点
n 阶矩阵 Q 是正交矩阵，当且仅当：
Q^TQ=E等价命题：
Q^{-1}=Q^T
Q 的列向量组是 R^n 的规范正交基
Q 的行向量组是 R^n 的规范正交基
|Q|=±1正交变换保持长度和夹角。
解题流程
1. 看到正交矩阵，先写 Q^TQ=E。 2. 若问逆矩阵，写 Q^{-1}=Q^T。 3. 若问行列式，对 Q^TQ=E 取行列式：
|Q^TQ|=|E|
|Q|^2=1
|Q|=±14. 若问列向量组，转成规范正交基。 5. 若问 kQ，计算：
(kQ)^T(kQ)=k^2E只有 k=±1 时仍正交。
例题展示
例：若 Q 为正交矩阵，判断 2Q 是否为正交矩阵。
解：
因为 Q 正交：
Q^TQ=E所以：
(2Q)^T(2Q)=4Q^TQ=4E这不等于 E，因此 2Q 不是正交矩阵。
易错点
正交矩阵的行列式是 1 或 -1，不一定是 1。
题型 4：求特征值和特征向量
考什么
基础计算题：
求矩阵 A 的特征值和特征向量核心知识点
特征值满足：
|λE-A|=0对应特征向量满足：
(λE-A)x=0且特征向量必须是非零向量。
解题流程
1. 写特征方程：
|λE-A|=02. 解出全部特征值。 3. 对每个特征值 λ，解齐次方程：
(λE-A)x=04. 写出该解空间中的全部非零向量，即 λ 的特征向量。
例题展示
例：求：
A=[2 0
0 3]的特征值和特征向量。
解：
特征方程：
|λE-A| = |λ-2 0 |
| 0 λ-3|
=(λ-2)(λ-3)=0所以特征值为：
λ1=2, λ2=3当 λ=2：
(2E-A)x=0即：
[0 0
0 -1]x=0得：
x2=0所以特征向量为：
k(1,0)^T, k≠0当 λ=3：
(3E-A)x=0得：
x1=0所以特征向量为：
k(0,1)^T, k≠0易错点
零向量不是特征向量。解齐次方程时得到的是特征子空间，最后要写“非零解”。
题型 5：特征值性质概念题
考什么
常见判断：
矩阵 A 的特征值和行列式、迹有什么关系？
相似矩阵特征值是否相同？
可逆矩阵的特征值是否可能为 0？核心知识点
设 n 阶矩阵 A 的特征值为：
λ1,λ2,...,λn按代数重数计算，则：
λ1+λ2+...+λn = tr(A)
λ1λ2...λn = |A|若 A 可逆，则：
0 不是 A 的特征值若 A 与 B 相似，则：
A 与 B 有相同特征多项式、相同特征值、相同行列式、相同迹、相同秩解题流程
1. 看到特征值求和，想到迹。 2. 看到特征值乘积，想到行列式。 3. 看到相似，想到特征多项式不变。 4. 看到可逆，想到行列式非零，所以特征值都非零。
例题展示
例：若 A 与 B 相似，判断 r(A)=r(B) 是否正确。
解：
A 与 B 相似，说明存在可逆矩阵 P：
B=P^{-1}AP左乘、右乘可逆矩阵不改变秩，所以：
r(B)=r(P^{-1}AP)=r(A)命题正确。
易错点
特征值相同不一定推出两个矩阵相似；但相似一定推出特征值相同。
题型 6：判断矩阵是否可相似对角化
考什么
题目问：
A 是否可相似对角化？
能否找到 P，使 P^{-1}AP=D？核心知识点
n 阶矩阵 A 可相似对角化，当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量。
常用充分条件：
A 有 n 个互异特征值，则 A 可相似对角化。对于重特征值，要检查其特征子空间维数。
若 λ 是 k 重特征值，则对应线性无关特征向量个数为：
n-r(λE-A)必须等于它需要贡献的数量。
解题流程
1. 求特征值及代数重数。 2. 若有 n 个不同特征值，直接可对角化。 3. 若有重特征值，对每个重特征值解：
(λE-A)x=04. 计算每个特征子空间维数。 5. 把所有特征子空间维数相加。 6. 若总数为 n，则可对角化；否则不可。
例题展示
例：设 A 是 3 阶矩阵，特征值为：
λ1=1, λ2=2, λ3=3判断 A 是否可相似对角化。
解：
A 有 3 个互异特征值。
不同特征值对应的特征向量线性无关，所以 A 有 3 个线性无关特征向量。
因此 A 可相似对角化。
易错点
“有重特征值”不等于“不可对角化”。例如单位矩阵所有特征值都相同，但它当然可对角化。
题型 7：求相似对角化
考什么
题目要求：
求可逆矩阵 P 和对角矩阵 D，使 P^{-1}AP=D。核心知识点
P 的列向量放 A 的线性无关特征向量；D 的对角线按同样顺序放对应特征值。
如果：
P=(p1,p2,...,pn)且：
Api=λi pi则：
AP=PD所以：
P^{-1}AP=D解题流程
1. 求 A 的特征值。 2. 对每个特征值求特征向量。 3. 选出 n 个线性无关特征向量。 4. 按列组成 P。 5. D 的对角线按 P 中特征向量的顺序写对应特征值。 6. 写出：
P^{-1}AP=D例题展示
例：若 A 的三个线性无关特征向量为：
p1,p2,p3对应特征值分别为：
λ1,λ2,λ3则：
P=(p1,p2,p3)
D=diag(λ1,λ2,λ3)满足：
P^{-1}AP=D易错点
P 中列向量顺序变了，D 中对角线顺序也必须跟着变。
题型 8：实对称矩阵正交对角化
考什么
题目问：
实对称矩阵是否可对角化？
是否可正交对角化？核心知识点
若：
A=A^T则 A 一定可正交对角化。
也就是说，存在正交矩阵 Q，使：
Q^TAQ=D并且不同特征值对应的特征向量相互正交。
解题流程
1. 判断 A 是否为实对称矩阵。 2. 若是，则一定可正交对角化。 3. 求特征值和特征向量。 4. 对每个特征子空间取一组正交规范基。 5. 把所有规范正交特征向量按列组成 Q。 6. D 的对角线按 Q 中列向量对应特征值排列。
例题展示
例：判断实对称矩阵 A 是否一定可相似对角化。
解：
实对称矩阵满足：
A=A^T线性代数定理告诉我们，实对称矩阵一定存在一组规范正交特征向量构成 R^n 的基。
所以它不仅可相似对角化，而且可正交对角化。
结论正确。
易错点
普通矩阵可相似对角化不一定可正交对角化；实对称矩阵才有“一定可正交对角化”的结论。
题型 9：相似矩阵与秩、行列式、特征值
考什么
错题集中有“矩阵相似则秩相等”一类题，也可能问行列式、迹、特征值是否相同。
核心知识点
若 A 与 B 相似：
B=P^{-1}AP其中 P 可逆。
则：
r(B)=r(A)
|B|=|A|
tr(B)=tr(A)
A 与 B 特征值相同解题流程
1. 写出相似定义 B=P^{-1}AP。 2. 秩题：用可逆矩阵不改变秩。 3. 行列式题：取行列式。 4. 特征值题：用特征多项式相同。
例题展示
例：若 A 与 B 相似，证明它们行列式相等。
解：
由相似，存在可逆矩阵 P，使：
B=P^{-1}AP取行列式：
|B|=|P^{-1}AP|
=|P^{-1}||A||P|
=|P|^{-1}|A||P|
=|A|所以相似矩阵行列式相等。
易错点
行列式相等、迹相等、特征值相同都不能单独推出相似。
题型 10：矩阵多项式方程推出特征值范围
1. 考什么
新错题本中出现：
A^2=E，证明 A 的特征值只能是 1 或 -1。以及：
A^2-2A-8E=O，证明特征值与 -2、4 有关。2. 核心知识点
若：
f(A)=O且 λ 是 A 的特征值，则：
f(λ)=03. 例题讲解
设：
A^2=E若 Ax=λx，x≠0，则：
A^2x=λ^2x又因为 A^2=E：
A^2x=Ex=x所以：
λ^2x=x即：
(λ^2-1)x=0因为 x≠0：
λ^2-1=0所以：
λ=1 或 λ=-14. 易错点
这类题不是让你直接算行列式，而是用特征向量定义把矩阵方程变成普通代数方程。
题型 11：行和相等推出特征值
1. 考什么
错题本中出现：
n 阶矩阵 A 的任一行元素之和都等于 a，则 A 应有一个特征值是什么？2. 核心结论
若 A 的每一行元素之和都是 a，则：
a 是 A 的特征值对应特征向量：
e=(1,1,...,1)^T3. 例题讲解
设 A 为三阶矩阵，每一行元素之和均为 5。
取：
e=(1,1,1)^T则 Ae 的每一个分量都是对应行元素之和，所以：
Ae=(5,5,5)^T=5e因此：
5 是 A 的一个特征值4. 易错点
行和相等对应右乘全 1 列向量；列和相等对应左乘全 1 行向量。两者都能推出特征值，但特征向量方向不同。
题型 12：实对称矩阵中“另一个特征向量”的找法
1. 考什么
错题本中有：
设 A 为 2 阶实对称矩阵，已知一个特征向量，问哪个向量必为另一个特征向量。2. 核心知识点
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。
若二阶实对称矩阵有两个不同特征值，且一个特征向量为：
α=(a,b)^T则另一个特征向量方向必须与 α 正交。
在二维中，与 (a,b)^T 正交的典型向量是：
(-b,a)^T或：
(b,-a)^T3. 例题讲解
已知 2 阶实对称矩阵 A 的一个特征向量：
α=(1,2)^T若另一个特征值不同，则另一个特征向量可取：
β=(-2,1)^T因为：
α^Tβ=1·(-2)+2·1=04. 易错点
这个结论依赖两个条件：
实对称
不同特征值普通矩阵的不同特征值特征向量不一定正交。
题型 13：MOOC 原题，正交矩阵概念多选
原题整理
以下命题正确的是：
A. 正交矩阵的行列式为 1 或 -1。
B. 若 A 为正交矩阵，则 A^{-1}=A^T。
C. n 阶方阵 A 为正交矩阵，当且仅当 A 的列向量组是 R^n 的一组规范正交基。
D. 正交变换不改变向量的长度，也不改变两个向量间的角度。逐项讲解
A 正确。
若 A 正交：
A^TA=E两边取行列式：
|A^TA|=|E|即：
|A^T||A|=1又 |A^T|=|A|，所以：
|A|^2=1因此：
|A|=1 或 |A|=-1B 正确。
由：
A^TA=E可知 A^T 是 A 的左逆。对方阵来说左逆等于逆，所以：
A^{-1}=A^TC 正确。
设 A 的列向量为：
a1,...,an则 A^TA 的第 (i,j) 个元素是：
ai^Taj若 A^TA=E，说明：
ai^Tai=1
ai^Taj=0 (i≠j)这正是列向量组为规范正交基。
D 正确。
正交变换 x -> Ax 下：
||Ax||^2=(Ax)^T(Ax)=x^TA^TAx=x^Tx=||x||^2两个向量夹角由内积决定，而：
(Ax)^T(Ay)=x^TA^TAy=x^Ty所以长度和角度都保持。
本题总结
正交矩阵题不要只记“转置等于逆”，还要会从：
A^TA=E推出行列式、列向量规范正交、长度内积保持。
题型 14：错题本原题，实对称矩阵相似的充分必要条件
原题整理
设 A、B 都是 n 阶实对称矩阵，证明：
A 与 B 相似的充分必要条件是 A 与 B 有相同的特征多项式。详细证明
必要性：
若 A 与 B 相似，则存在可逆矩阵 P：
B=P^{-1}AP相似矩阵有相同的特征多项式，所以必要性成立。
充分性：
因为 A、B 都是实对称矩阵，所以都可正交对角化。
存在正交矩阵 Q1、Q2，使：
Q1^TAQ1=D1
Q2^TBQ2=D2其中 D1、D2 是由各自特征值组成的对角矩阵。
若 A、B 有相同的特征多项式，则它们的特征值连同重数完全相同。调整特征向量顺序后，可以让：
D1=D2于是：
A~D1
B~D1由相似的传递性：
A~B所以充分性成立。
易错点
普通矩阵“特征多项式相同”不能推出相似。
这道题能成立，是因为额外条件是：
A、B 都是实对称矩阵实对称矩阵一定可正交对角化，这消除了普通矩阵里 Jordan 结构的麻烦。