线性代数错题本
向量空间、基坐标与过渡矩阵题型
向量空间、基、坐标与过渡矩阵题型
来源：错题集锦中的基变换、坐标、线性空间维数题；补充习题中向量空间概念题、过渡矩阵题、坐标题。 目标：把“基、坐标、过渡矩阵、维数”这类容易靠记忆混方向的题，整理成可操作流程。
题型 1：判断一个集合是否为向量空间
考什么
题目给一个向量集合，例如：
V={(x1,x2,x3) | 某个条件成立}问它是不是向量空间。
核心知识点
向量空间必须满足：
1. 含零向量。 2. 对加法封闭。 3. 对数乘封闭。
做判断题时，一般不用完整验证所有公理，重点抓这三条。
常见类型
线性齐次条件
例如：
V={(x1,x2,x3) | x1+x2+x3=0}这是向量空间。
因为零向量满足条件；两个满足条件的向量相加仍满足；数乘后仍满足。
非齐次条件
例如：
V={(x1,x2,x3) | x1+x2+x3=1}不是向量空间。
因为零向量不满足条件。
乘积条件
例如：
V={(x1,x2,x3) | x1x2x3=0}通常不是向量空间。
反例：
u=(1,0,1), v=(0,1,1)它们都满足乘积为 0，但：
u+v=(1,1,2)乘积不为 0，所以不对加法封闭。
解题流程
1. 先代入零向量，看是否属于集合。 2. 若零向量不在集合中，直接判定不是向量空间。 3. 若零向量在，再检查加法封闭。 4. 若加法容易失败，构造两个反例向量。 5. 若加法封闭，再看数乘封闭。
例题展示
例：判断：
V={(x1,x2,x3) | x1x2x3=0}是否为向量空间。
解：
取：
u=(1,0,1), v=(0,1,1)则：
1·0·1=0
0·1·1=0所以 u,v∈V。
但：
u+v=(1,1,2)且：
1·1·2=2≠0所以：
u+v∉VV 对加法不封闭，因此不是向量空间。
题型 2：判断向量组是否为 R^n 的一组基
考什么
题目常问：
某几个 n 维向量是否构成 R^n 的一组基？核心知识点
在 R^n 中，n 个向量构成一组基，当且仅当它们线性无关。
等价条件：
n 个 n 维向量构成 R^n 的一组基
⇔ 线性无关
⇔ 能线性表示 R^n 中任意向量
⇔ 按列组成的 n 阶矩阵满秩
⇔ 行列式不为 0解题流程
1. 先数向量个数是否为 n。 2. 若不是 n 个，通常不能作为 R^n 的基。 3. 若正好 n 个，把它们按列组成矩阵 A。 4. 算 |A| 或 r(A)。 5. |A|≠0 或 r(A)=n，则是一组基。 6. |A|=0 或 r(A)<n，则不是。
例题展示
例：设 A 是三阶矩阵，且 |A|≠0，判断 A 的列向量组是否为 R^3 的一组基。
解：
|A|≠0，说明 A 可逆，因此：
r(A)=3A 的 3 个列向量线性无关。
在 R^3 中，3 个线性无关的向量构成一组基。
所以 A 的列向量组是 R^3 的一组基。
易错点
“线性无关”与“能表示所有向量”在 n 个 n 维向量的情况下等价；但如果向量个数不是 n，就不能直接这样说。
题型 3：由线性表示写坐标
考什么
题目给：
α1,α2,α3 是 V 的一组基
β = 3α1 - 2α2 + α3问 β 在某一组基下的坐标。
核心知识点
若：
β = c1α1 + c2α2 + c3α3则 β 在基：
α1,α2,α3下的坐标为：
(c1,c2,c3)^T坐标的顺序必须和基向量顺序一致。
解题流程
1. 看清题目给的基顺序。 2. 按该顺序把 β 展开。 3. 系数按顺序排成列向量。 4. 如果基顺序变化，坐标也要重新排列。
例题展示
例：若 α1,α2,α3 是向量空间 V 的一组基，且：
β=3α1-2α2+α3求：
1. β 在基 α1,α2,α3 下的坐标。 2. β 在基 α1,α3,α2 下的坐标。
解：
在基 α1,α2,α3 下：
β=3α1+(-2)α2+1α3所以坐标为：
(3,-2,1)^T在基 α1,α3,α2 下，要按新顺序写：
β=3α1+1α3+(-2)α2所以坐标为：
(3,1,-2)^T易错点
坐标不是固定的，它依赖基的顺序。题目把基写成 α3,α1,α2，坐标就要按这个顺序重排。
题型 4：求某向量在给定基下的坐标
考什么
题目给具体向量：
α1,α2,α3 是 R^3 的一组基，β 是某个 R^3 向量求 β 在该基下的坐标。
核心知识点
设：
A=(α1,α2,α3)若 β 在这组基下坐标为：
x=(x1,x2,x3)^T则：
β=x1α1+x2α2+x3α3也就是：
Ax=β解题流程
1. 把基向量按列组成矩阵 A。 2. 设坐标向量为 x。 3. 解线性方程组：
Ax=β4. 解出的 x 就是坐标。
例题展示
例：设：
α1=(1,0,1)^T
α2=(1,1,0)^T
α3=(0,1,1)^T
β=(2,3,4)^T求 β 在基 α1,α2,α3 下的坐标。
解：
设坐标为：
x=(x1,x2,x3)^T则：
x1α1+x2α2+x3α3=β即：
x1+x2=2
x2+x3=3
x1+x3=4解得：
x1=3/2, x2=1/2, x3=5/2所以坐标为：
(3/2,1/2,5/2)^T易错点
基向量要按列放，不要按行放。坐标方程是：
(α1,α2,α3)x=β题型 5：过渡矩阵方向判断
考什么
题目给两组基：
A=(α1,α2,...,αn)
B=(β1,β2,...,βn)给出 βi 用 αj 表示，问从某基到某基的过渡矩阵。
核心知识点
如果：
B=AP即新基 B 的每个向量都用旧基 A 表示，系数列组成矩阵 P。
则对任意向量 x：
x=A[x]_A=B[x]_B=AP[x]_B所以：
[x]_A=P[x]_B也就是说，P 把“B 基下坐标”变成“A 基下坐标”。
反向坐标变换为：
[x]_B=P^{-1}[x]_A解题流程
1. 设两组基矩阵：
A=(α1,...,αn), B=(β1,...,βn)2. 把每个 βi 用 α 组表示。 3. 把这些系数按列排成 P，使：
B=AP4. 若题目要 [x]_A 由 [x]_B 表示，用 P。 5. 若题目要 [x]_B 由 [x]_A 表示，用 P^{-1}。
例题展示
例：在 R^2 中，给两组基：
β1=3α1+2α2
β2=7α1+α2求坐标变换关系。
解：
写成矩阵形式：
(β1,β2)=(α1,α2)P其中 P 的第一列是 β1 在 α 基下的坐标，第二列是 β2 在 α 基下的坐标：
P = [3 7
2 1]于是：
[x]_α=P[x]_β即：
[x]_α = [3 7
2 1][x]_β若要求从 α 坐标到 β 坐标，则：
[x]_β=P^{-1}[x]_α易错点
“从 α 基到 β 基”的说法在不同教材里可能指“基向量怎么变”，也可能指“坐标怎么变”。最稳的方法是每次写：
x=A[x]_A=B[x]_B
B=AP然后自己推出坐标关系。
题型 6：求由一组基到另一组基的过渡矩阵
考什么
补充习题中有：
α1,α2,α3 是 R^3 的一组基，
求由基 1/2α1, 1/3α2, ... 到基 α1+α2, α2+α3, α3+α1 的过渡矩阵。核心方法
这类题不要把 α1,α2,α3 的具体坐标算出来，因为它们只是抽象基。直接把两组新基都写成原基矩阵 A 乘系数矩阵。
设原基：
A=(α1,α2,α3)第一组基：
B=(β1,β2,β3)=AC第二组基：
D=(δ1,δ2,δ3)=AE若要求从 B 到 D 的过渡矩阵 P，使：
D=BP则：
AE=ACP因为 A 可逆，所以：
E=CP
P=C^{-1}E解题流程
1. 选一个共同参考基 A。 2. 把第一组基写成 B=AC。 3. 把第二组基写成 D=AE。 4. 若要求 D=BP，则：
P=C^{-1}E5. 若要求 B=DQ，则：
Q=E^{-1}C例题展示
例：设 α1,α2,α3 是 R^3 的一组基。求由基：
B=(α1, 2α2, 3α3)到基：
D=(α1+α2, α2+α3, α3+α1)的过渡矩阵 P，使：
D=BP解：
设：
A=(α1,α2,α3)则：
B=A C其中：
C=[1 0 0
0 2 0
0 0 3]又：
D=A E其中 D 的三列分别为：
α1+α2 -> (1,1,0)^T
α2+α3 -> (0,1,1)^T
α3+α1 -> (1,0,1)^T所以：
E=[1 0 1
1 1 0
0 1 1]由：
D=BP=ACP又 D=AE，所以：
E=CP
P=C^{-1}E即：
P=[1 0 0
0 1/2 0
0 0 1/3]
[1 0 1
1 1 0
0 1 1]所以：
P=[1 0 1
1/2 1/2 0
0 1/3 1/3]易错点
抽象基题不要强行设 α1=e1,α2=e2,α3=e3 也可以做，但更推荐用矩阵关系。因为矩阵关系能清楚处理方向。
题型 7：由秩判断生成空间维数
考什么
题目给若干向量生成的空间：
span(α1,α2,...,αs)问维数。
核心知识点
向量组生成空间的维数等于该向量组的秩：
dim span(α1,...,αs)=r(α1,...,αs)解题流程
1. 把向量按列组成矩阵。 2. 求列向量组的秩。 3. 秩就是生成空间维数。
例题展示
例：若向量组 α1,α2,α3 生成的向量空间维数为 2，说明什么？
解：
生成空间维数就是向量组秩，所以：
r(α1,α2,α3)=2这说明三个向量线性相关，但其中存在两个线性无关向量。
易错点
生成空间维数不是向量个数。三个向量生成的空间可能是一维、二维或三维。
题型 8：子空间包含关系与维数
考什么
题目给：
W1,W2 是某两个解空间或生成空间问维数大小、是否相等、是否为同一空间。
核心知识点
若：
W1 ⊆ W2则：
dim W1 ≤ dim W2若进一步：
dim W1 = dim W2则：
W1 = W2但只知道维数相同，不一定是同一个空间。
例题展示
例：在 R^2 中：
W1=span((1,0)^T)
W2=span((0,1)^T)二者维数都为 1，但：
W1≠W2因为它们是两条不同的过原点直线。
易错点
“维数相等”不能推出“空间相等”。必须再有包含关系。
题型 9：坐标题中“基的顺序”专项防错
1. 考什么
错题和补充题中经常给：
β=3α1-2α2+α3然后选项故意把基写成：
α1,α2,α3
α1,α3,α2
α2,α3,α1让你判断坐标。
2. 核心规则
坐标一定跟基的顺序绑定。
若：
β=c1α1+c2α2+c3α3则在基 α1,α2,α3 下坐标为：
(c1,c2,c3)^T但在基 α1,α3,α2 下，要写成：
β=c1α1+c3α3+c2α2坐标为：
(c1,c3,c2)^T3. 例题讲解
已知：
β=3α1-2α2+α3求 β 在基：
α2,α3,α1下的坐标。
解：
按新基顺序重写：
β=(-2)α2+1α3+3α1所以坐标为：
(-2,1,3)^T4. 易错点
不要看到 3,-2,1 就直接选。先看题目问的是哪一组基、什么顺序。
题型 10：过渡矩阵的两种语言统一
1. 考什么
过渡矩阵题最容易错在“方向”。有的题说“从基 A 到基 B”，有的说“由 A 基下坐标到 B 基下坐标”，这两个表述不一定是同一个矩阵。
2. 统一公式
设：
A=(α1,...,αn)
B=(β1,...,βn)若：
B=AP则：
[x]_A=P[x]_B和：
[x]_B=P^{-1}[x]_A3. 例题讲解
设：
β1=3α1+2α2
β2=7α1+α2则：
B=AP其中：
P=[3 7
2 1]所以：
[x]_A=P[x]_B若题目问“把 A 坐标变成 B 坐标”，则要用：
[x]_B=P^{-1}[x]_A4. 刷题口诀
先写 B=AP，再推坐标。
不直接背“从 A 到 B”。题型 11：解空间也是向量空间
1. 考什么
概念题会问：
W={x|Ax=0} 的维数是多少？
Ax=0 的基础解系和 W 的基有什么关系？2. 核心知识点
齐次方程组的解集：
W={x|Ax=0}是向量空间，称为解空间。
它的一组基就是 Ax=0 的基础解系。
所以：
dim W = 基础解系个数 = n-r(A)3. 例题讲解
设 A 是 5 阶矩阵，r(A)=3，求：
W={x|Ax=0}的维数。
解：
未知数个数：
n=5解空间维数：
dim W=n-r(A)=5-3=2所以 W 的维数为 2。
4. 易错点
不要把“矩阵阶数”“方程个数”“未知数个数”混在一起。dim N(A)=n-r(A) 中的 n 是未知数个数，也就是 A 的列数。
题型 12：MOOC 原题，坐标随基顺序变化
原题整理
若 α1,α2,α3 是向量空间 V 的一组基，且
β=3α1-2α2+α3
判断 β 在不同顺序的基下的坐标。
题目选项中出现：
A. β 在基 α1,α2,α3 下的坐标
B. β 在基 α1,α3,α2 下的坐标
C. β 在基 α3,α1,α2 下的坐标
D. β 在基 α2,α3,α1 下的坐标详细讲解
坐标不是只看系数，还要看基的顺序。
已知：
β=3α1-2α2+1α3所以在基 α1,α2,α3 下：
[β]_(α1,α2,α3)=(3,-2,1)^T若基换成 α1,α3,α2，就要按这个顺序重写：
β=3α1+1α3-2α2所以：
[β]_(α1,α3,α2)=(3,1,-2)^T若基换成 α3,α1,α2：
β=1α3+3α1-2α2坐标为：
(1,3,-2)^T若基换成 α2,α3,α1：
β=-2α2+1α3+3α1坐标为：
(-2,1,3)^T本题总结
这类题不要凭眼睛找 3,-2,1。每个选项都要按题目给出的基顺序重新排一次。
题型 13：MOOC 原题，已知两组基求过渡矩阵
原题整理
已知 α1,α2 和 β1,β2 是 R^2 的两组基，且
β1=3α1+2α2
β2=7α1+α2
求 α 基和 β 基之间的过渡矩阵。详细讲解
先写基矩阵：
A=(α1,α2)
B=(β1,β2)把 β 用 α 表示：
β1=3α1+2α2
β2=7α1+1α2所以：
B=AP其中 P 的第一列是 β1 在 α 基下的坐标，第二列是 β2 在 α 基下的坐标：
P=[3 7
2 1]于是对任意向量 x：
x=A[x]_α=B[x]_β=AP[x]_β所以：
[x]_α=P[x]_β如果题目问“由 β 基坐标到 α 基坐标”，答案就是：
P=[3 7
2 1]如果题目问“由 α 基坐标到 β 基坐标”，答案是：
P^{-1}计算：
|P|=3·1-7·2=3-14=-11所以：
P^{-1}=(-1/11)[ 1 -7
-2 3]
=[ -1/11 7/11
2/11 -3/11]本题总结
过渡矩阵题最稳的做法：
先写 B=AP
再推出 [x]_α=P[x]_β不要只背“从 α 到 β”。