线性方程组解结构题型

线性方程组解结构题型

来源：错题集锦中关于 Ax=0、Ax=b、基础解系、通解、公共解、伴随矩阵的题；补充习题中只选取错题集锦未完全覆盖的题型。 目标：看到题目后能判断它属于哪类方程组题，并知道该从“秩、基础解系、特解、导出组”哪一个入口下手。

题型 1：由秩判断 Ax=0 的解结构

考什么

题目常给：

A 是 m×n 矩阵，r(A)=r

问：

Ax=0 是否有非零解？
基础解系有几个向量？
通解怎么写？
解空间维数是多少？

核心知识点

齐次线性方程组：

Ax=0

未知量个数是 n，系数矩阵秩是 r(A)。

必背结论：

自由变量个数 = n-r(A)
基础解系所含向量个数 = n-r(A)
解空间维数 = n-r(A)

判断有无非零解：

| 条件 | 结论 |
| --- | --- |
| `r(A)=n` | 只有零解 |
| `r(A)<n` | 有非零解 |

解题流程

1. 先看矩阵 A 的列数，也就是未知数个数 n。 2. 再看 r(A)。 3. 算 n-r(A)。 4. 若 n-r(A)=0，则只有零解。 5. 若 n-r(A)>0，则有非零解，基础解系含 n-r(A) 个向量。 6. 通解写成基础解系的任意线性组合。

例题展示

例：设 A 为 5 阶方阵，且 r(A)=3，求：

W={x | Ax=0}

的维数。

解：

A 是 5 阶方阵，所以未知数个数：

n=5

又：

r(A)=3

所以解空间维数：

dim W = n-r(A)=5-3=2

因此：

W 的维数是 2

易错点

不要把矩阵行数当成未知数个数。Ax=0 中 x 有多少个分量，取决于 A 的列数。

如果 A 是 4×5 矩阵，且 r(A)=3，那么自由变量个数是：

5-3=2

不是 4-3=1。

题型 2：已知 Ax=0 的两个不同解，求通解

考什么

错题集锦中出现这类题：

设矩阵 A 的秩为 n-1，ξ1、ξ2 是 Ax=0 的两个不同解，求 Ax=0 的通解。

这类题的关键不是消元，而是先判断基础解系个数。

核心知识点

若 A 是 n 阶矩阵，且：

r(A)=n-1

则：

基础解系个数 = n-r(A)=1

说明解空间是一条过原点的直线，任意一个非零解都可以作为基础解系。

若 ξ1、ξ2 是两个不同解，则：

ξ1-ξ2

仍然是 Ax=0 的解。

因为：

A(ξ1-ξ2)=Aξ1-Aξ2=0-0=0

如果 ξ1≠ξ2，则 ξ1-ξ2≠0，它就是一个非零解，可以作为基础解系。

解题流程

1. 由 r(A)=n-1 判断基础解系只有 1 个向量。 2. 找到一个非零解。 3. 若题目给两个不同解 ξ1,ξ2，就用 ξ1-ξ2。 4. 通解写成：

x=k(ξ1-ξ2)

其中 k 为任意常数。

例题展示

例：设 A 为 n 阶矩阵，r(A)=n-1，且 η1,η2 是齐次方程组 Ax=0 的两个不同解，求通解。

解：

因为：

r(A)=n-1

所以：

n-r(A)=1

基础解系只有一个非零向量。

又因为 η1,η2 都是 Ax=0 的解：

A(η1-η2)=Aη1-Aη2=0

且 η1≠η2，所以：

η1-η2≠0

因此 η1-η2 可以作为基础解系。

通解为：

x=k(η1-η2), k∈R

易错点

不要写成：

x=k1η1+k2η2

因为基础解系只有一个向量。两个解在一维解空间里必然线性相关，不能当成两个基础解系向量。

题型 3：判断一组向量能否作为基础解系

考什么

题目给出某个齐次方程组的基础解系，或者给出几个候选向量组，让你判断哪一个也可以作为基础解系。

核心知识点

一个向量组是 Ax=0 的基础解系，必须同时满足三件事：

1. 每个向量都是 Ax=0 的解。 2. 这些向量线性无关。 3. 向量个数等于 n-r(A)。

这三个条件缺一不可。

解题流程

1. 先由已知基础解系个数，确定解空间维数。 2. 看候选组的向量个数是否相同。 3. 检查候选向量是否都是原方程组的解。 4. 检查候选组是否线性无关。 5. 个数正确、都是解、线性无关，才是基础解系。

例题展示

例：已知某齐次线性方程组的基础解系含 3 个向量。判断某候选向量组能否作为基础解系。

解题时不能只看“这几个向量是解”。必须检查：

候选组是否也含 3 个向量
候选组是否线性无关
候选组是否全是方程组的解

如果候选组只有 2 个向量，即使这两个都是解、也线性无关，也不能作为基础解系，因为解空间维数是 3。

如果候选组有 3 个解向量，但三者线性相关，也不能作为基础解系，因为基础解系必须无关。

易错点

“都是解”只能说明它们在解空间里，不能说明它们张成整个解空间。

“线性无关”只能说明没有冗余，不能说明个数够。

原题精讲：错题本第 13 题，候选基础解系要写成“原基础解系乘矩阵”

原题整理：

已知齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系为 ξ1,ξ2,ξ3。
判断下列候选向量组哪一个还可以作为 Ax=0 的基础解系。

A. 单个解向量 ξ1
B. η1=ξ1+ξ2, η2=ξ2+ξ3, η3=ξ1+ξ3
C. 只有两个解向量组成的向量组
D. 三个解向量组成，但可推出一个非零线性组合为 0

答案：B。

这道题的核心是：候选向量组如果都是由原基础解系线性组合出来的，那么它们一定是解；剩下要判断“是否线性无关”和“个数是否正确”。

已知 ξ1,ξ2,ξ3 是基础解系，说明：

1. ξ1,ξ2,ξ3 都是 Ax=0 的解；
2. ξ1,ξ2,ξ3 线性无关；
3. 解空间维数为 3。

现在看 B：

η1=ξ1+ξ2
η2=ξ2+ξ3
η3=ξ1+ξ3

先证明它们都是解。

因为齐次方程组解集对加法和数乘封闭，且 ξ1,ξ2,ξ3 都是解，所以 η1,η2,η3 都是解。

再证明它们线性无关。把新向量组写成原基础解系乘一个系数矩阵：

(η1,η2,η3)=(ξ1,ξ2,ξ3)C

其中每一列是对应 η 在 ξ1,ξ2,ξ3 下的坐标：

η1=1ξ1+1ξ2+0ξ3 -> (1,1,0)^T
η2=0ξ1+1ξ2+1ξ3 -> (0,1,1)^T
η3=1ξ1+0ξ2+1ξ3 -> (1,0,1)^T

所以：

C=[1 0 1
   1 1 0
   0 1 1]

计算行列式：

|C|=2≠0

因为原向量组 ξ1,ξ2,ξ3 线性无关，且 C 可逆，所以新向量组 η1,η2,η3 也线性无关。

最后看个数：

η1,η2,η3

正好 3 个，等于解空间维数。

因此 B 可以作为新的基础解系。

为什么 A 错？

A 只有一个向量，虽然可能是解，但基础解系需要 3 个线性无关解向量。

为什么 C 错？

C 只有两个向量，个数不够，不能张成整个 3 维解空间。

为什么 D 错？

D 虽然有 3 个向量，也可能都是解，但若存在不全为 0 的系数组合成 0，就线性相关，不能作为基础解系。

这道题的标准判断流程：

候选基础解系
-> 先看是不是解
-> 再看个数是否等于 n-r(A)
-> 再看是否线性无关
-> 若是原基础解系的线性组合，写成 (新)=(旧)C，用 |C| 判断无关

题型 4：由基础解系反构造齐次方程组

考什么

题目给：

某几个向量是 Ax=0 的基础解系

要求：

写出一个以它们为基础解系的齐次线性方程组

核心知识点

若 ξ1,ξ2,...,ξt 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的每一行 a 都要满足：

aξ1=0
aξ2=0
...
aξt=0

也就是说，A 的行向量必须在这些解向量张成空间的正交补中。

解题流程

1. 设系数矩阵 A 的一行是未知向量：

a=(a1,a2,...,an)

2. 对每个基础解系向量列方程：

aξi=0

3. 解出 a 的一般形式。 4. 从中选出足够多的线性无关行向量。 5. 用这些行向量组成 A。 6. 写出方程组 Ax=0。

例题展示

例：写出一个基础解系为：

ξ1=(1,1,0)^T, ξ2=(1,0,1)^T

的齐次线性方程组。

解：

设系数矩阵的一行是：

a=(a,b,c)

因为 ξ1,ξ2 都是解，所以：

aξ1=a+b=0
aξ2=a+c=0

解得：

b=-a, c=-a

所以：

a=(a,-a,-a)=a(1,-1,-1)

取一行：

(1,-1,-1)

得到一个方程组：

x1-x2-x3=0

即：

[1 -1 -1]x=0

易错点

如果基础解系有 2 个向量，且未知数是 3 个，则解空间维数是 2，所以系数矩阵秩应为：

n-2=1

因此构造一条独立方程即可。不要构造出秩过大的系数矩阵，否则解空间会变小。

题型 5：行和为零、秩为 n-1，求 Ax=0 通解

考什么

错题集中有题：

n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0，且 r(A)=n-1，求 Ax=0 的通解。

核心知识点

各行元素之和均为 0，等价于：

A(1,1,...,1)^T=0

所以：

(1,1,...,1)^T

是 Ax=0 的一个非零解。

又因为：

r(A)=n-1

基础解系只有：

n-r(A)=1

个向量。

解题流程

1. 由“各行元素之和为 0”得到非零解 e=(1,1,...,1)^T。 2. 由 r(A)=n-1 得基础解系只有 1 个向量。 3. 所以 e 就可以作为基础解系。 4. 通解写成：

x=k(1,1,...,1)^T

例题展示

例：设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n-1，求 Ax=0 的通解。

解：

各行元素之和为 0，说明：

A(1,1,...,1)^T=0

所以 e=(1,1,...,1)^T 是一个非零解。

又：

n-r(A)=n-(n-1)=1

基础解系只有一个向量。因此 e 就是一个基础解系。

通解：

x=k(1,1,...,1)^T, k∈R

易错点

“行和为零”对应右乘全 1 列向量：

A(1,1,...,1)^T=0

不要误写成列和为零。

题型 6：非齐次方程组 Ax=b 的有解、唯一解、无穷多解

考什么

题目给一个含参数方程组，问：

参数取何值时有解？
何时无解？
何时有唯一解？
何时有无穷多解？

核心知识点

对非齐次方程组：

Ax=b

比较系数矩阵和增广矩阵的秩：

| 条件 | 结论 |
| --- | --- |
| `r(A)<r(A,b)` | 无解 |
| `r(A)=r(A,b)=n` | 唯一解 |
| `r(A)=r(A,b)<n` | 无穷多解 |

解题流程

1. 写出增广矩阵 [A|b]。 2. 做初等行变换，尽量化为阶梯形。 3. 看是否出现矛盾行：

0 0 ... 0 | 非零数

出现则无解。

4. 若无矛盾，比较主元个数与未知数个数。 5. 主元数等于未知数个数，唯一解。 6. 主元数小于未知数个数，无穷多解。

例题展示

例：设 Ax=b 中 A 为 3×3 矩阵，已知：

r(A)=2, r(A,b)=2

判断解的情况。

解：

因为：

r(A)=r(A,b)=2

所以方程组有解。

又未知数个数：

n=3

且：

r(A)=2<3

所以有自由变量，解不唯一。

结论：

Ax=b 有无穷多解

易错点

有解不是看 r(A) 是否满秩，而是先看：

r(A)=r(A,b)

满秩只是决定是否唯一。

题型 7：由非齐次方程组的不同解求通解

考什么

补充习题中有典型题：

A 为 3 阶矩阵，r(A)=2，η1,η2,η3 是 Ax=b 的三个解向量，
给出 η1+η2、η2-η3，求 Ax=b 的通解。

这类题的核心是：非齐次解之间的差是导出组的解。

核心知识点

若 η1,η2 都是 Ax=b 的解，则：

A(η1-η2)=Aη1-Aη2=b-b=0

所以：

η1-η2 是 Ax=0 的解

若 η 是 Ax=b 的一个特解，ξ 是 Ax=0 的解，则：

η+ξ

仍是 Ax=b 的解。

解题流程

1. 由 r(A) 和未知数个数 n，算导出组 Ax=0 的基础解系个数：

n-r(A)

2. 找一个非齐次特解 η。 3. 用两个非齐次解的差构造齐次解。 4. 若导出组基础解系只需 1 个向量，找一个非零差向量即可。 5. 通解写成：

x=η+kξ

6. 若基础解系需要多个向量，就要找足够多个线性无关的差向量。

例题展示

例：设 A 为 3 阶矩阵，r(A)=2，η1,η2,η3 是非齐次方程组 Ax=b 的三个解，且：

η1+η2=(2,6,0)^T
η2-η3=(1,2,3)^T

求 Ax=b 的通解。

解：

因为 A 是 3 阶矩阵，未知数个数 n=3，且：

r(A)=2

所以导出组 Ax=0 的基础解系个数：

n-r(A)=3-2=1

也就是说，只要找一个非零齐次解即可。

由 η2,η3 都是非齐次方程组解，得到：

η2-η3=(1,2,3)^T

是导出组 Ax=0 的非零解，因此可作为基础解系。

接下来找一个特解。由于 η1,η2 都是 Ax=b 的解：

A(η1+η2)=Aη1+Aη2=2b

所以：

η=(η1+η2)/2=(1,3,0)^T

是 Ax=b 的一个特解。

因此通解为：

x=(1,3,0)^T+k(1,2,3)^T, k∈R

易错点

η1+η2 不是 Ax=b 的解，因为：

A(η1+η2)=2b

但它的一半：

(η1+η2)/2

是 Ax=b 的解。

题型 8：非齐次解集是否构成向量空间

考什么

概念题常问：

Ax=b 的所有解是否构成向量空间？

核心结论

一般不构成向量空间。

原因：

1. 非齐次方程组一般不含零向量。 2. 两个非齐次解相加后一般不是非齐次解。

若 η1,η2 是 Ax=b 的解：

A(η1+η2)=2b

通常不等于 b。

对比

| 解集 | 是否为向量空间 |
| --- | --- |
| `Ax=0` 的全部解 | 是 |
| `Ax=b` 的全部解，`b≠0` | 一般不是 |

例题展示

判断：非齐次线性方程组 Ax=b 的所有解向量构成一个向量空间。

解：

若 b≠0，则：

A0=0≠b

零向量不是解，因此解集不含零向量，不可能是向量空间。

所以命题错误。

原题精讲：MOOC 第 74 题，非齐次解集为什么不是向量空间

原题整理：

以下命题正确的是（ ）
A. 非齐次线性方程组 Ax=b 的通解是由其导出组 Ax=0 的通解和 Ax=b 的特解组成。
B. 若 R(A)=R([A,b])<A 的列数，则非齐次线性方程组 Ax=b 的特解是不唯一的。
C. 习惯把自由变量都取零，来进一步获得非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解。
D. 非齐次线性方程组 Ax=b 的所有解向量构成了一个向量空间。
答案：A、B、C。

这道题正好说明“非齐次解集不是向量空间”到底错在哪里。

先看 A：

非齐次方程组若有解，任取一个特解 η，其导出组是：

Ax=0

设导出组基础解系为：

ξ1,...,ξt

则非齐次方程组全部解为：

x=η+k1ξ1+...+ktξt

所以 A 正确。

再看 B：

R(A)=R([A,b])<A 的列数

前半句说明有解，后半句说明主元个数小于未知数个数，有自由变量，因此有无穷多解。既然有无穷多解，特解当然不唯一。所以 B 正确。

再看 C：

求非齐次方程组通解时，常先从行最简形里把自由变量取 0，得到一个最方便的特解。注意这只是“习惯做法”，不是说只能这样取特解。所以 C 正确。

最后看 D：

若 b≠0，零向量不是 Ax=b 的解，因为：

A0=0≠b

向量空间必须含零向量，所以非齐次解集一般不是向量空间。

再从加法封闭看，也能看出问题。若 η1,η2 都是 Ax=b 的解，则：

Aη1=b, Aη2=b

相加：

A(η1+η2)=Aη1+Aη2=b+b=2b

一般不等于 b，所以 η1+η2 一般不是 Ax=b 的解。

因此 D 错。

这道题的关键不是背“非齐次解集不是向量空间”，而是要会说出两个原因：

1. 一般不含零向量；
2. 一般不对加法封闭。

题型 9：公共解问题

考什么

补充习题中有：

两个线性方程组有公共解，求参数 a 和所有公共解。

核心知识点

“有公共解”指存在同一个 x 同时满足两个方程组。

所以要把两个方程组联立，而不是分别讨论它们各自是否有解。

解题流程

1. 把两个方程组写成一个联合方程组。 2. 写出联合增广矩阵。 3. 对增广矩阵做行变换。 4. 根据无矛盾条件求参数。 5. 参数确定后，继续求解全部公共解。

例题展示

例：两个方程组：

方程组 I: A1x=b1
方程组 II: A2x=b2

有公共解，求参数。

做法不是分别求 I、II 的解集，而是合并为：

[A1]x=[b1]
[A2]x=[b2]

也就是：

[A1; A2]x = [b1; b2]

然后对增广矩阵：

[A1; A2 | b1; b2]

做行变换。

若行变换出现：

0 0 ... 0 | f(a)

为了有公共解，必须：

f(a)=0

再代回求所有公共解。

易错点

两个方程组“分别有解”不等于“有公共解”。

比如一条直线 x=1 和另一条直线 x=2 分别都有解，但没有公共解。

题型 10：矩阵方程 AB=E 的所有解

考什么

补充习题中出现：

A 是 3×4 矩阵，求 AB=E 的所有解。

这类题本质上是多个线性方程组放在一起。

核心知识点

若：

AB=E

把 B 按列写成：

B=(b1,b2,...,bk)

则：

AB=(Ab1,Ab2,...,Abk)

所以矩阵方程等价于多个方程组：

Abi=ei

解题流程

1. 把未知矩阵 B 按列拆开。 2. 分别求解 Abi=ei。 3. 每一列的解都是“特解 + Ax=0 的通解”。 4. 把所有列合并成矩阵 B。

例题展示

例：求 AB=E3 的所有解，其中 A 是 3×4 矩阵。

设：

B=(b1,b2,b3)

则：

AB=(Ab1,Ab2,Ab3)=E3=(e1,e2,e3)

于是需要分别解：

Ab1=e1
Ab2=e2
Ab3=e3

如果 Ax=0 的基础解系为 ξ，且三个方程的特解分别为 p1,p2,p3，则：

b1=p1+k1ξ
b2=p2+k2ξ
b3=p3+k3ξ

所以：

B=(p1,p2,p3)+ξ(k1,k2,k3)

其中 k1,k2,k3 为任意常数。

易错点

不要把 B 当作一个普通列向量。矩阵方程可以按列拆成多个普通线性方程组。

题型 11：伴随矩阵 A* 与方程组基础解系

考什么

错题集锦和补充习题都有这类题：

A 是 n 阶矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵。
已知 Ax=0 或 A*x=0 的基础解系，求另一个方程组的基础解系。

核心知识点

伴随矩阵满足：

AA*=A*A=|A|E

秩关系：

| `r(A)` | `r(A*)` |
| --- | --- |
| `n` | `n` |
| `n-1` | `1` |
| `< n-1` | `0` |

基础解系个数：

基础解系个数 = n-r(系数矩阵)

解题流程

1. 根据已知基础解系个数，反推系数矩阵的秩。 2. 若已知 Ax=0 的基础解系个数为 t，则：

r(A)=n-t

3. 用伴随矩阵秩关系求 r(A*)。 4. 再求 A*x=0 的基础解系个数：

n-r(A*)

5. 结合 AA*=0 或列向量关系，确定具体基础解系。

例题展示

例：设 A 是 4 阶矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵。若 Ax=0 的一个基础解系只含一个向量，求 A*x=0 的基础解系个数。

解：

Ax=0 的基础解系只含一个向量，说明：

4-r(A)=1

所以：

r(A)=3

对 4 阶矩阵来说：

r(A)=n-1

因此：

r(A*)=1

所以 A*x=0 的基础解系个数为：

4-r(A*)=4-1=3

易错点

A* 不是 A^{-1}。只有 A 可逆时才有：

A^{-1}=A*/|A|

在这类题里，A 往往不可逆，不能把伴随矩阵当逆矩阵用。

题型 12：含参数方程组的分情况讨论

1. 考什么

错题和笔记中常见：

方程组 Ax=b 含参数 a，讨论 a 为何值时无解、唯一解、无穷多解，并求通解。

这类题不是死算，而是看参数什么时候让主元消失。

2. 解题流程

1. 写增广矩阵 [A|b]。 2. 行变换到阶梯形。 3. 找含参数的主元位置。 4. 对“主元为 0”的参数单独讨论。 5. 每一种情况分别判断：

是否出现矛盾行
主元个数是否等于未知数个数
自由变量有几个

3. 例题讲解

例：讨论：

x1+x2+x3=1
2x1+3x2+x3=2
x1+2x2+ax3=b

的解。

增广矩阵：

[1 1 1 | 1
 2 3 1 | 2
 1 2 a | b]

行变换：

R2 <- R2-2R1
R3 <- R3-R1

得：

[1 1 1   | 1
 0 1 -1  | 0
 0 1 a-1 | b-1]

再：

R3 <- R3-R2

得：

[1 1 1 | 1
 0 1 -1 | 0
 0 0 a | b-1]

讨论：

1. a≠0：第三列有主元，唯一解。 2. a=0,b≠1：第三行变成 0=b-1，无解。 3. a=0,b=1：第三行为零行，有自由变量，无穷多解。

当 a=0,b=1 时，令：

x3=t

由第二行：

x2=x3=t

由第一行：

x1=1-2t

通解：

x=(1,0,0)^T+t(-2,1,1)^T

4. 易错点

参数讨论题一定要把“导致主元为 0”的情况单独拿出来。很多错题不是不会消元，而是漏了特殊参数。

题型 13：公共解题的“联立矩阵”写法

1. 核心补充

两个方程组有公共解：

A1x=b1
A2x=b2

等价于一个合并方程组有解：

[A1]x=[b1]
[A2]  [b2]

也就是：

Cx=d

其中：

C=[A1;A2], d=[b1;b2]

2. 解题流程

1. 不要分别求两个方程组全部解。 2. 直接把所有方程放在一起。 3. 对合并增广矩阵 [C|d] 消元。 4. 用 r(C)=r(C,d) 求参数。 5. 再求公共解。

3. 例题讲解

例：两个方程组：

I:
x1+x2=1
x2+x3=a

II:
x1+x3=2
x1+x2+x3=3

有公共解，求 a。

联立：

x1+x2=1
x2+x3=a
x1+x3=2
x1+x2+x3=3

由第一式：

x1=1-x2

由第三式：

1-x2+x3=2 -> x3=1+x2

代入第四式：

(1-x2)+x2+(1+x2)=3

得：

x2=1

于是：

x1=0, x3=2

代入第二式：

a=x2+x3=1+2=3

所以公共解存在时：

a=3, x=(0,1,2)^T

4. 易错点

“两个方程组分别有解”不等于“有公共解”。公共解必须是同一个 x。