秩、极大无关组与矩阵乘积题型

秩、极大无关组与矩阵乘积题型

主要来源：错题本第 6-12 题附近，线代2.pdf 第 2、7、8、12、14 题，线代答案.pdf 第 52-57 题。

题型 1：求或判断向量组的秩

1. 考什么

题目给一组向量或矩阵，要求：

- 判断线性相关； - 求秩； - 判断哪个部分组是极大无关组； - 判断行向量组/列向量组的秩。

2. 核心知识

矩阵的秩：

r(A)=行秩=列秩

如果 A 是 m×n 矩阵：

r(A) ≤ min(m,n)

列向量组线性无关：

r(A)=列数

行向量组线性无关：

r(A)=行数

3. 解题流程

1. 把向量组按列组成矩阵 A。 2. 对 A 做初等行变换化为阶梯形。 3. 数非零行个数，得到秩。 4. 主元列对应原矩阵中的列，就是一个极大无关组。

4. 易错点

做初等行变换后，主元列的“编号”对应原矩阵列，但极大无关组要取原矩阵的列，不是取变换后矩阵的列。

题型 2：极大无关组的判断

1. 考什么

题目给一个部分组，问它是不是原向量组的极大无关组。

2. 判定条件

一个部分组是极大无关组，当且仅当：

1. 它本身线性无关； 2. 它的秩等于原向量组的秩。

也可以说：

部分组无关，并且能表示原向量组全部向量

3. 解题流程

1. 判断部分组是否线性无关。 2. 求部分组秩。 3. 求原向量组秩。 4. 两个秩相同且部分组无关，则是极大无关组。

4. 代表例题

已知向量组 B 的秩为 3，部分组 A 含 3 个向量，且 A 线性无关。判断 A 是否为 B 的极大无关组。

解：

A 含 3 个向量且线性无关，所以：

r(A)=3

又：

r(B)=3

因此：

r(A)=r(B)

A 是 B 的部分组，且自身无关，故 A 是 B 的极大无关组。

题型 3：矩阵右乘可逆矩阵对行/列向量组的影响

1. 考什么

线代2.pdf 中有题：

设 A、B、C 均为 n 阶矩阵，若：

AB=C，且 B 可逆

判断 C 的行/列向量组与 A 的行/列向量组是否等价。

2. 核心结论

右乘可逆矩阵 B：

C = AB

表示 C 的列向量是 A 的列向量的线性组合；由于 B 可逆，A 也能由 C 表示。

所以：

C 的列向量组与 A 的列向量组等价

同时，右乘可逆矩阵对应对 A 做一系列初等列变换，因此保持列空间。

左乘可逆矩阵 P：

C = PA

保持行向量组等价。

3. 易混点

| 操作 | 影响 |
| --- | --- |
| 左乘可逆矩阵 | 行向量组等价 |
| 右乘可逆矩阵 | 列向量组等价 |

不要记反。

4. 代表例题

若 C=AB，B 可逆，问 C 的列向量组与 A 的列向量组是否等价。

解：

C 的每一列都是 A 的列向量按 B 对应列的系数组合得到，所以 C 可由 A 表示。

又因为 B 可逆：

A = CB^{-1}

所以 A 的列向量也可由 C 的列向量表示。

因此二者列向量组等价。

题型 4：AB=O 推出哪些向量组相关

1. 考什么

错题本中有：

设 A、B 为满足：

AB=O

的两个非零矩阵，判断 A 的行/列向量组与 B 的行/列向量组哪个必相关。

2. 核心思路

若：

AB=O

则 B 的每一列都是齐次方程组：

Ax=0

的解。

因为 B 是非零矩阵，所以至少有一个非零列向量 β，使：

Aβ=0

因此 Ax=0 有非零解，所以 A 的列向量组线性相关。

同理，从：

AB=O

也可看作 A 的每一行乘 B 为零，即 A 的行向量是：

yB=0

的非零解，推出 B 的行向量组线性相关。

3. 结论

若 A、B 非零且 AB=O，则必有：

A 的列向量组线性相关
B 的行向量组线性相关

4. 解题流程

1. 看 AB=O。 2. 把 B 的列看作 Ax=0 的解。 3. 因 B 非零，存在非零解。 4. 得 A 不满列秩，A 的列向量组相关。 5. 把 A 的行看作 yB=0 的解。 6. 得 B 的行向量组相关。

5. 易错点

不是 A 的行和 B 的列必相关，而是：

A 列相关，B 行相关

题型 5：伴随矩阵与秩、基础解系

1. 考什么

错题本中出现：

设 A 是四阶矩阵，A* 是伴随矩阵，给出 A*x=0 或 Ax=0 的基础解系，问另一个方程组基础解系。

2. 核心知识

伴随矩阵：

AA* = A*A = |A|E

若 A 不可逆，即 |A|=0，则：

AA*=O

伴随矩阵秩的结论：

| r(A) | r(A*) |
| --- | --- |
| n | n |
| n-1 | 1 |
| < n-1 | 0 |

3. 解题思路

如果 A*x=0 的基础解系只有一个向量，说明：

n-r(A*)=1

从而得到 r(A*)=n-1，再结合伴随矩阵秩关系反推 r(A)。

如果 r(A)=1 或 r(A*)=1，要特别小心。

4. 易错点

伴随矩阵不是逆矩阵。

只有 A 可逆时：

A^{-1}=A*/|A|

不可逆时不能这么用。

题型 6：矩阵满秩与向量组无关

1. 考什么

补充题中有类似：

给一个由列向量组成的方阵满秩，判断相关直线、平面或向量组性质。

2. 核心结论

n 阶方阵 A 满秩：

r(A)=n

等价于：

- A 可逆； - |A|≠0； - A 的列向量组线性无关； - A 的行向量组线性无关； - Ax=0 只有零解； - Ax=b 对任意 b 有唯一解。

3. 答题方法

看到“满秩方阵”，立刻转化为“可逆矩阵”。

然后根据题目问的是：

- 方程组； - 向量组； - 行列式； - 线性变换； - 坐标表示；

选择对应等价命题。

题型 7：行向量组秩为 r 时，哪些说法一定正确

1. 考什么

错题本中有类似：

设 A 为 n 阶方阵，r(A)=r，判断 A 的行向量中哪些说法正确。

选项常见形式：

A. 必有 r 个行向量线性无关
B. 任意 r 个行向量构成极大无关组
C. 任意 r 个行向量线性相关
D. 任一行都可由其余 r 个行向量线性表示

2. 核心知识点

矩阵的行秩等于矩阵的秩：

行向量组的秩 = r(A)

所以若 r(A)=r，则行向量组中：

一定存在 r 个线性无关行向量

但不是任意 r 个都线性无关。

3. 例题讲解

设 A 的行向量组秩为 2。

则一定可以从所有行向量中挑出 2 个线性无关的行向量，这是秩的定义。

但“任意 2 个行向量都线性无关”是错的。

反例：

行向量组：a1=(1,0), a2=(2,0), a3=(0,1)

这个行向量组的秩是 2，因为 a1,a3 无关。

但 a1,a2 线性相关。

所以：

必有 r 个无关：正确
任意 r 个无关：错误
任意 r 个相关：错误

4. 易错点

“存在”与“任意”差别很大。

秩为 r -> 存在 r 个无关
秩为 r -/> 任意 r 个无关

题型 8：行列式中列向量线性组合的计算

1. 考什么

错题本中有：

设 a1,a2,a3 是三维列向量，|a1,a2,a3|=5，
求 |a1-a2-a3, a2-a3-a1, a3-a1-a2|。

2. 核心知识点

新列向量是旧列向量的线性组合，可以写成：

(β1,β2,β3)=(a1,a2,a3)C

于是：

|β1,β2,β3|=|a1,a2,a3|·|C|

3. 例题讲解

令：

β1=a1-a2-a3
β2=a2-a3-a1
β3=a3-a1-a2

把每个 β 写成 a1,a2,a3 的坐标：

β1 =  1a1 -1a2 -1a3
β2 = -1a1 +1a2 -1a3
β3 = -1a1 -1a2 +1a3

所以：

C=[ 1 -1 -1
   -1  1 -1
   -1 -1  1]

计算：

|C|=-4

因此：

|β1,β2,β3|=|a1,a2,a3|·|C|=5·(-4)=-20

4. 易错点

不要一列一列展开行列式，容易乱。凡是看到“新列 = 旧列线性组合”，优先写系数矩阵 C。

题型 9：AB=O 的秩不等式理解

1. 核心补充

若 A 是 m×n，B 是 n×p，且：

AB=O

则：

r(A)+r(B)≤n

因为 B 的列空间包含在 A 的零空间中：

Col(B) ⊆ N(A)

所以：

r(B)≤dim N(A)=n-r(A)

即：

r(A)+r(B)≤n

2. 与“必相关”题的关系

若 A、B 都非零，且 AB=O，则：

r(A)<n

所以 A 的列向量组相关。

同时从行向量角度可推出：

B 的行向量组相关

3. 易错点

AB=O 不代表 A 或 B 必为零矩阵。

例如：

A=[1 0]
B=[0
   1]

则：

AB=0

但 A、B 都不是零矩阵。

题型 10：MOOC 原题，矩阵行列向量组与秩的多选判断

原题整理

判断下列命题：

A. 若 A 是一个 3×5 矩阵，且 r(A)=3，那么 A 的行向量组线性无关。
B. 若 A 是一个 3×5 矩阵，那么 A 的列向量组线性相关。
C. 若 A 是一个 4×3 矩阵，且 A 的列向量组线性无关，那么 r(A)=3。
D. 若 A 是一个 3×3 矩阵，且 A 的列向量组线性无关，那么 A 的行向量组也线性无关。

逐项讲解

A 正确。

3×5 矩阵有 3 个行向量，每个行向量是 5 维向量。若：

r(A)=3

则行秩为 3。行向量组一共有 3 个向量，秩也为 3，所以行向量组线性无关。

B 正确。

3×5 矩阵有 5 个列向量，每个列向量是 3 维向量。3 维空间中 5 个向量一定线性相关，因为：

向量个数 5 > 维数 3

C 正确。

4×3 矩阵有 3 个列向量。若列向量组线性无关，则列秩为 3。由于矩阵秩等于列秩：

r(A)=3

D 正确。

3×3 矩阵列向量组线性无关，说明：

r(A)=3

对三阶方阵来说，秩为 3 表示满秩，因此行秩也为 3。行向量组有 3 个向量，秩为 3，所以行向量组线性无关。

本题总结

矩阵行列向量组题先数清楚：

m×n 矩阵：
行向量有 m 个，每个是 n 维；
列向量有 n 个，每个是 m 维。

再用：

行秩=列秩=r(A)

以及：

向量组无关 ⇔ 秩=向量个数
向量个数>空间维数 -> 一定相关

题型 11：MOOC 原题，极大无关组是否唯一

原题整理

判断下列命题：

A. 若向量组 α1,α2,α3,α4 线性无关，则它的极大无关组是唯一的。
B. 若向量组 α1,α2,α3,α4 线性相关，则它的极大无关组不唯一。
C. 若向量组 α1,α2,α3,α4 的极大无关组是唯一的，则该向量组线性无关。
D. 若 α1 和 α2 都可以由 α3,α4 线性表示，那么 α3,α4 线性无关。

逐项讲解

A 正确。

如果整个向量组线性无关，那么它本身就是极大无关组。由于不能再删向量，否则无法表示被删掉的向量，所以极大无关组就是整个组，唯一。

B 错误。

线性相关的向量组极大无关组可能唯一，也可能不唯一。

例如：

α1=e1, α2=2e1, α3=3e1

秩为 1，任意一个非零向量都可作为极大无关组，所以不唯一。

但若：

α1=e1, α2=e2, α3=e1+e2, α4=0

极大无关组可以有多个，比如 α1,α2 和 α1,α3，也不唯一。

要构造唯一的相关组也可以，例如：

α1=e1, α2=0, α3=0

唯一极大无关组是 α1。

所以“线性相关 -> 极大无关组不唯一”不是必然命题。

C 正确。

如果向量组相关，通常会存在冗余向量；但这个命题在教材语境中常用结论是：若极大无关组唯一，则所有非零有效方向都被唯一确定。更稳的考试判断方式是看具体选项语境。若题目按“线性无关组的极大无关组就是自身且唯一”考，则 C 常作为正确项；若严格追究，相关组也可能有唯一极大无关组，比如上面的 e1,0,0。做题时要结合教材定义和选项。

D 错误。

α1,α2 都可由 α3,α4 表示，不能推出 α3,α4 无关。

反例：

α3=e1, α4=2e1
α1=e1, α2=3e1

α1,α2 都能由 α3,α4 表示，但 α3,α4 线性相关。

本题总结

极大无关组题的判断核心是：

自身无关
能表示原向量组全部向量
个数等于原向量组秩

关于“唯一性”的判断要特别谨慎，最好用反例检验。