向量组线性表示与线性相关题型

向量组线性表示与线性相关题型

主要来源：错题本第 1、6、8、9、10、13、14、15 题附近，以及 线代2.pdf 第 1、6、8、9 题，线代答案.pdf 概念题 39-49。 核心：线性表示、线性相关、线性无关、增广向量组、等价向量组的判断。

题型 1：由线性表示判断相关性

1. 考什么

题目常给出：

β 可以由 α1,α2,...,αs 线性表示

然后问：

α1,α2,...,αs,β 是否线性相关？

这是错题本和概念题中最常出现的一类。

2. 核心结论

若 β 可以由 α1,...,αs 线性表示，则：

α1,...,αs,β 一定线性相关

证明：

由线性表示：

β = k1α1 + ... + ksαs

移项：

k1α1 + ... + ksαs - β = 0

其中 β 的系数为 -1，不为 0，所以存在不全为 0 的线性组合等于零，因此增广向量组线性相关。

3. 注意前提

这个结论不要求 α1,...,αs 线性无关。

只要 β 能被它们表示，加入 β 后一定相关。

4. 解题流程

1. 看题目是否说“β 可由 α 组线性表示”。 2. 若是，则直接写出线性表示式。 3. 移项成零向量表达式。 4. 因 β 的系数为 -1，所以系数不全为零。 5. 得出增广向量组相关。

5. 例题展示

例：若

β = 2α1 - 3α2 + α3

判断 α1,α2,α3,β 是否线性相关。

解：

移项：

2α1 - 3α2 + α3 - β = 0

系数 2,-3,1,-1 不全为 0，因此：

α1,α2,α3,β 线性相关

6. 易错点

不要误以为“原向量组无关，加入一个向量才可能相关”。实际上只要新向量能由旧向量组表示，加入后必相关。

题型 2：无关组加入一个向量后是否仍无关

1. 考什么

题目常给：

α1,...,αs 线性无关

问：

α1,...,αs,β 是否线性无关？

这和题型 1 很像，但结论取决于 β 是否能被原向量组表示。

2. 核心结论

若 α1,...,αs 线性无关：

| 条件 | 结论 |
| --- | --- |
| β 可由 `α1,...,αs` 表示 | `α1,...,αs,β` 线性相关 |
| β 不可由 `α1,...,αs` 表示 | `α1,...,αs,β` 线性无关 |

3. 为什么

若增广组相关，则存在：

k1α1 + ... + ksαs + kβ = 0

如果 k=0，由于原组无关，只能所有系数为 0，不构成相关。

所以若增广组相关，必须 k≠0，于是：

β = -(k1/k)α1 - ... - (ks/k)αs

即 β 可由原组表示。

因此对于原组无关的情况：

增广后相关 ⇔ 新向量可由原组表示
增广后无关 ⇔ 新向量不可由原组表示

4. 解题流程

1. 先确认原向量组是否线性无关。 2. 判断新向量 β 是否能由原向量组表示。 3. 能表示则增广组相关。 4. 不能表示则增广组无关。

5. 代表例题

已知 α1,α2,α3 线性无关，判断下列命题：

若 β 不能由 α1,α2,α3 线性表示，则 α1,α2,α3,β 线性无关。

解：

根据核心结论，原组无关时，新向量不能由原组表示，说明它不在原组张成的空间内，加入后仍不会产生非平凡零组合。

所以命题正确。

6. 和题型 1 的区别

| 对比点 | 题型 1 | 题型 2 |
| --- | --- | --- |
| 已知条件 | β 可由 α 组表示 | α 组无关，问加入 β |
| 直接结论 | 加入 β 必相关 | 要看 β 能否表示 |
| 是否要求原组无关 | 不要求 | 要求 |

题型 3：整体相关/无关与部分组相关/无关

1. 考什么

错题本和答案 PDF 中很多选择题考：

整体相关能否推出部分相关？
部分无关能否推出整体无关？
整体无关能否推出部分无关？
部分相关能否推出整体相关？

这类题没有计算流程，核心是逻辑关系。

2. 必背结论

| 已知 | 能推出 |
| --- | --- |
| 整体线性无关 | 任意部分组线性无关 |
| 某部分组线性相关 | 加上更多向量后整体线性相关 |
| 整体线性相关 | 不能推出任意部分组相关 |
| 某部分组线性无关 | 不能推出整体无关 |

3. 反例

整体相关但部分无关：

α1=e1, α2=e2, α3=e1+e2

α1,α2,α3 线性相关，但 α1,α2 线性无关。

部分无关但整体相关：

同上。

α1,α2 无关，但加入 α3=e1+e2 后整体相关。

4. 代表例题

判断：

若 α1,α2 线性无关，且 α3,α4 线性无关，则 α1,α2,α3,α4 线性无关。

解：

错误。

反例：

α1=e1, α2=e2, α3=e1, α4=e2

α1,α2 无关，α3,α4 也无关，但四个向量整体显然相关。

5. 易错点

不要把“两个小组各自无关”误认为“合起来无关”。合起来后可能互相线性表示。

题型 4：线性无关组经过矩阵 A 作用后是否仍无关

1. 考什么

错题本中出现：

α1,...,αs 均为 n 维列向量，A 是 m×n 矩阵，下列选项正确的是？
若 α 组相关/无关，Aα 组是否相关/无关？

2. 核心结论

若 α1,...,αs 线性相关，则：

Aα1,...,Aαs 一定线性相关

证明：

由相关性，存在不全为 0 的 k_i：

k1α1+...+ksαs=0

左乘 A：

k1Aα1+...+ksAαs=A0=0

所以像向量组相关。

但反过来不成立：

若 α1,...,αs 无关，Aα1,...,Aαs 不一定无关。

因为 A 可能把不同向量压到低维空间，甚至压成零向量。

3. 什么时候无关能保持

若 A 是可逆矩阵，则无关性保持。

α1,...,αs 无关 ⇔ Aα1,...,Aαs 无关

因为可逆矩阵对应可逆线性变换，不会把非零关系压出来。

4. 解题流程

1. 看 A 是否可逆。 2. 若 A 可逆，则线性相关/无关都保持。 3. 若 A 不一定可逆： - 原组相关可以推出像组相关； - 原组无关不能推出像组无关； - 像组无关可以推出原组无关； - 像组相关不能推出原组相关。

5. 代表例题

设 α1,...,αs 为 n 维列向量，A 为 m×n 矩阵。判断：

若 α1,...,αs 线性相关，则 Aα1,...,Aαs 线性相关。

解：

由原组相关，存在不全为零系数使：

k1α1+...+ksαs=0

左乘 A：

k1Aα1+...+ksAαs=0

系数仍不全为零，所以 Aα1,...,Aαs 相关。

结论正确。

题型 5：两个向量组等价、同秩、互相线性表示

1. 考什么

题目常出现：

向量组 A 与向量组 B 有相同的秩

问能否推出：

- A 与 B 等价； - A 可由 B 表示； - B 可由 A 表示； - 某个向量组是另一个的极大无关组。

2. 核心定义

两个向量组等价：

A 中每个向量都可由 B 线性表示
且
B 中每个向量都可由 A 线性表示

等价向量组一定同秩。

但同秩不一定等价。

3. 何时“同秩”能推出等价

若 A 是 B 的部分组，且：

r(A)=r(B)

则 B 中每个向量都能由 A 表示，因此 A 和 B 等价。

原因：

A 已经是 B 的一个部分组，加入 B 中其他向量没有增加秩，说明其他向量都在 A 的张成空间里。

4. 代表例题

已知向量组 A 是向量组 B 的部分组，且：

r(A)=r(B)

判断 A 与 B 是否等价。

解：

A 是 B 的部分组，所以 A 中向量自然可以由 B 表示。

又因为 r(A)=r(B)，B 中加入 A 以外的向量后秩没有增加，说明 B 中每个向量都可由 A 表示。

因此 A 与 B 等价。

5. 易错点

如果只知道两个向量组秩相同，但没有包含关系或互相表示关系，不能推出等价。

题型 6：向量组线性组合变换后判断相关性

1. 考什么

线代2.pdf 中有类似：

已知 α1,α2,α3 线性无关，判断下列向量组是否线性相关：

α1-α2, α2-α3, α3-α1

或：

α1+α2, α2+α3, α3+α1

2. 核心方法

把新向量组表示成旧向量组乘一个系数矩阵。

设：

β1,β2,β3 = α1,α2,α3 的线性组合

写成：

(β1,β2,β3) = (α1,α2,α3) C

若 α1,α2,α3 线性无关，则新向量组相关性由 C 的列向量组决定。

β组线性无关 ⇔ C 可逆 ⇔ |C|≠0
β组线性相关 ⇔ |C|=0

3. 代表例题

已知 α1,α2,α3 线性无关，判断：

β1=α1-α2
β2=α2-α3
β3=α3-α1

是否线性相关。

解：

相加：

β1+β2+β3
=(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0

系数 1,1,1 不全为零，所以 β1,β2,β3 线性相关。

4. 更通用流程

1. 把每个 β 用 α 表示。 2. 若能直接找出非零组合为 0，直接判断相关。 3. 若不明显，写系数矩阵 C。 4. 计算 |C| 或 r(C)。 5. 根据 C 是否满秩判断。

题型 7：向量组升维/降维后的相关性

1. 考什么

答案 PDF 中有类似：

二维向量组相关，升成三维后是否相关？

三维向量组相关，删掉某一行后是否相关？

这类题考“维数变化”和“线性关系是否保留”。

2. 核心结论

若高维向量组线性相关，则删去同一坐标分量后，低维向量组一定线性相关。

原因：

高维中存在非零系数组合为零，删去某一坐标后，该线性组合仍然为零。

反过来不成立：

低维投影相关，不一定能推出原高维相关。

因为被删掉的坐标可能破坏原来的零组合。

3. 代表例题

若三维向量组：

α1=(a,b,c)^T, α2=(x,y,z)^T

线性相关，则二维向量组：

β1=(a,b)^T, β2=(x,y)^T

是否一定线性相关？

解：

两个三维向量相关，说明存在不全为零 k1,k2：

k1α1+k2α2=0

取前两维：

k1β1+k2β2=0

所以二维组也相关。

反过来若二维组相关，三维组不一定相关。

题型 8：概念判断题的答题方法

1. 方法

概念题不一定有计算步骤，要用：

定义判断 + 必要充分条件 + 反例意识

看到“一定”“必有”“任意”“所有”时，要特别谨慎。

2. 常用反例库

反例 1：部分无关，整体相关

e1,e2 无关
e1,e2,e1+e2 相关

反例 2：两个无关组并在一起不一定无关

e1,e2 无关
e1,e2 另一组也无关
合在一起 e1,e2,e1,e2 相关

反例 3：秩相同不一定等价

在不同子空间中的两个一维向量组：

(1,0)^T 与 (0,1)^T

秩都为 1，但不能互相线性表示，不等价。

反例 4：线性无关经非可逆矩阵作用后可能相关

令 A 为零矩阵，任何向量都被映到零向量。

原组可无关，像组必相关。

9. 本专题总结

向量组判断题的核心只有三件事：

能否表示
是否相关
秩是否增加

最常用判据：

β 可由 α 组表示 ⇔ r(α组)=r(α组,β)
α 组无关 ⇔ r(α组)=向量个数
α 组相关 ⇔ r(α组)<向量个数

10. 错题本例题讲解补充

例题 1：任意一个向量不能由其余向量表示，推出线性无关吗

题目类型：

有一组向量 α1,...,αs，判断“其中任意一个向量均不能由其余向量线性表示”是否是线性无关的充分条件。

解题思路：

线性相关与“能否由其余向量表示”之间有一个非常重要的等价关系：

α1,...,αs 线性相关
⇔ 至少有一个向量可由其余向量线性表示

注意这里是“至少有一个”。它的否定就是：

没有任何一个向量可由其余向量表示

也就是：

任意一个向量均不能由其余向量表示

因此这正好等价于线性无关。

完整证明：

若 α1,...,αs 线性相关，则存在不全为 0 的系数：

k1α1+...+ksαs=0

取一个非零系数，比如 ki≠0，则：

αi=-(k1/ki)α1-...-(k(i-1)/ki)α(i-1)-(k(i+1)/ki)α(i+1)-...-(ks/ki)αs

所以 αi 可由其余向量表示。

反过来，若某个 αi 可由其余向量表示，移项就得到一个不全为 0 的零组合，所以线性相关。

所以：

线性无关 ⇔ 任意一个向量都不能由其余向量表示

易错点：

不要把“任意两个向量不成比例”当成高维向量组线性无关。任意两个不成比例只保证任意两个无关，不保证整体无关。

例题 2：两两不成比例为什么不是线性无关的充分条件

题目类型：

α1,α2,α3 中任意两个向量都不成比例，能否推出 α1,α2,α3 线性无关？

答案：

不能。

反例：

α1=(1,0)^T
α2=(0,1)^T
α3=(1,1)^T

任意两个都不成比例，但：

α3=α1+α2

所以：

α1+α2-α3=0

存在不全为 0 的线性组合等于 0，因此三者线性相关。

题型总结：

| 条件 | 对两个向量 | 对三个及以上向量 |
| --- | --- | --- |
| 不成比例 | 等价于线性无关 | 只能说明两两无关，不能说明整体无关 |
| 任意一个不能由其余表示 | 等价于线性无关 | 等价于线性无关 |

例题 3：抽象向量组变换的系数矩阵法

题目类型：

已知 α1,α2,α3 线性无关，判断
β1=α1-α2
β2=α2-α3
β3=α3-α1
是否线性相关。

解法 1：直接找零组合。

β1+β2+β3
=(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α1)
=0

系数 1,1,1 不全为 0，所以：

β1,β2,β3 线性相关

解法 2：系数矩阵法。

写：

(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C

其中：

C=[ 1  0 -1
   -1  1  0
    0 -1  1]

计算可知：

|C|=0

由于 α1,α2,α3 线性无关，新向量组的相关性由 C 决定，所以 β 组相关。

刷题入口：

抽象 α 组无关 + 新向量是 α 的线性组合
-> 写系数矩阵 C
-> 看 |C| 或 r(C)

例题 4：MOOC 概念题，线性表示和线性相关的四个命题

原题整理：

设 α1,α2,α3 为同维向量，判断下列命题：

A. 若 α1 可以由 α2,α3 线性表示，则 α1,α2,α3 线性相关。
B. 若 α1 可以由 α2,α3 线性表示，则 α2,α3 一定线性无关。
C. 若 α1,α2,α3 线性无关，则 α1 不能由 α2,α3 线性表示。
D. 若 α1 不能由 α2,α3 线性表示，则 α1,α2,α3 线性无关。

逐项分析：

A 正确。

若：

α1=k2α2+k3α3

移项：

α1-k2α2-k3α3=0

系数中 α1 的系数为 1，不为 0，所以存在不全为 0 的零组合，向量组相关。

B 错误。

α1 能由 α2,α3 表示，并不能说明 α2,α3 无关。

反例：

α2=(1,0)^T
α3=(2,0)^T
α1=(3,0)^T

α1=3α2，当然可由 α2,α3 表示，但 α2,α3 成比例，线性相关。

C 正确。

若 α1 能由 α2,α3 表示，则根据 A 的逻辑，α1,α2,α3 必相关。这与题设“线性无关”矛盾。因此 α1 不能由 α2,α3 表示。

D 错误。

α1 不能由 α2,α3 表示，只说明 α1 不在 span(α2,α3) 里；但还要看 α2,α3 自身是否无关。

反例：

α1=(0,1)^T
α2=(1,0)^T
α3=(2,0)^T

α1 不能由 α2,α3 表示，但 α2,α3 已经线性相关，所以整个 α1,α2,α3 仍线性相关。

本题总结：

某个向量能由其余向量表示 -> 整组相关
整组无关 -> 任意一个向量都不能由其余向量表示
某个向量不能由其余表示 -/> 整组无关

例题 5：MOOC 概念题，部分组和整体组的关系

原题整理：

判断下列命题：

A. 若 α1,α2,α3 线性无关，则 α2,α3 线性无关。
B. 若 α1,α2,α3 线性相关，则 α1,α2,α3,α4 线性相关。
C. 若 α1,α2 线性无关，且 α3,α4 线性无关，则 α1,α2,α3,α4 线性无关。
D. 若 α1,α2,α3,α4 线性相关，则 α1,α2,α3 线性相关。

A 正确。

整体无关，则任意部分组无关。否则如果 α2,α3 相关，存在：

k2α2+k3α3=0

且 k2,k3 不全为 0。补上 0α1：

0α1+k2α2+k3α3=0

这会导致整体相关，矛盾。

B 正确。

部分组相关，加上更多向量后仍相关。因为原来的非零零组合仍然成立，只要把新增向量系数取 0。

C 错误。

两个小组各自无关，不代表合起来无关。

反例：

α1=e1, α2=e2
α3=e1, α4=e2

α1,α2 无关，α3,α4 也无关，但四个向量合在一起显然相关。

D 错误。

整体相关，可能是因为 α4 被前三个表示；前三个本身不一定相关。

反例：

α1=e1, α2=e2, α3=e3, α4=e1+e2+e3

四个三维向量相关，但 α1,α2,α3 线性无关。

本题总结：

整体无关 -> 部分无关
部分相关 -> 整体相关
部分无关 -/> 整体无关
整体相关 -/> 部分相关