线性代数错题本
证明题与概念混淆题专题
证明题与概念混淆题专题
> 定位：这份不是按章节，而是专门整理“证明题怎么下手”和“概念判断题怎么防坑”。 > 用法：做选择、填空、证明题前先看，尤其适合考前快速扫雷。
一、概念判断题的通用方法
概念题不要凭感觉，也不要只背一句话。统一按四步：
1. 写定义
2. 换成等价条件
3. 判断是充分、必要还是充要
4. 不确定时构造反例看到这些词要警惕：
一定
任意
所有
必有
当且仅当这类说法往往需要严格条件，不能用一个熟悉例子代替证明。
二、线性相关类证明题
证明线性相关
常用入口：
1. 直接构造不全为 0 的零组合。
2. 证明其中一个向量可由其余向量表示。
3. 证明向量个数大于空间维数。
4. 证明秩小于向量个数。模板
要证明 α1,...,αs 线性相关：
只需找到不全为 0 的 k1,...,ks，使
k1α1+...+ksαs=0或证明：
αs=k1α1+...+k(s-1)α(s-1)移项即可得到相关。
例题
已知：
β=2α1-α2+3α3证明 α1,α2,α3,β 线性相关。
证明：
移项：
2α1-α2+3α3-β=0系数：
2,-1,3,-1不全为 0，所以向量组线性相关。
三、线性无关类证明题
证明线性无关
常用入口：
1. 设线性组合等于 0，推出所有系数为 0。
2. 转成齐次方程，证明只有零解。
3. 证明秩等于向量个数。模板
要证明 α1,...,αs 线性无关：
设 k1α1+...+ksαs=0经过推导得到：
k1=...=ks=0所以线性无关。
常见陷阱
两个小组各自线性无关，合起来不一定无关。
反例：
α1=e1, α2=e2
β1=e1, β2=e2两组各自无关，但合起来相关。
四、线性表示与增广组易混
命题 1
若 β 可由 α1,...,αs 表示，则 α1,...,αs,β 线性相关。正确。
命题 2
若 α1,...,αs 线性无关，则 α1,...,αs,β 一定线性无关。错误。
还要看 β 是否能由原组表示。
命题 3
若 α1,...,αs 线性无关，且 β 不能由它们表示，则增广组线性无关。正确。
记忆公式
能表示 -> 加进去相关
不能表示 + 原组无关 -> 加进去无关五、整体与部分易混
1. 命题
2. 判断
---
1. 整体无关 -> 任意部分无关
2. 正确
---
1. 部分相关 -> 整体相关
2. 正确
---
1. 整体相关 -> 任意部分相关
2. 错误
---
1. 部分无关 -> 整体无关
2. 错误反例：
e1,e2,e1+e2整体相关，但 e1,e2 无关。
六、秩与等价易混
命题
向量组等价 -> 秩相同正确。
命题
秩相同 -> 向量组等价错误。
反例：
(1,0)^T 与 (0,1)^T秩都为 1，但不等价。
什么时候能推出等价
若 A 是 B 的部分组，且：
r(A)=r(B)则 A 与 B 等价。
七、方程组解结构易混
齐次方程组
Ax=0所有解构成向量空间。
通解：
x=k1ξ1+...+ktξt非齐次方程组
Ax=b若有解，通解：
x=η+k1ξ1+...+ktξt其中 η 是特解，ξ 是导出组 Ax=0 的基础解系。
非齐次解集一般不是向量空间。
易错命题
若 η1,η2 是 Ax=b 的解，则：
η1+η2 是 Ax=b 的解错误。
正确的是：
η1-η2 是 Ax=0 的解八、基础解系易混
一个向量组是 Ax=0 的基础解系，必须同时满足：
1. 都是解。
2. 线性无关。
3. 个数等于 n-r(A)。缺任何一个都不行。
常见错误
“这几个向量都是解，所以它们是基础解系。”
错误。还要检查线性无关和个数是否够。
九、正交矩阵证明题
模板
要证明 C 是正交矩阵：
证明 C^TC=E若 C 是多个正交矩阵构造出来的，按转置乘法：
(AB)^T=B^TA^T逐步化简。
例题
设 A、B 正交，证明 A^TB 正交。
证明：
令：
C=A^TB则：
C^TC=(A^TB)^T(A^TB)=B^TAA^TB因为 A 正交：
AA^T=E所以：
C^TC=B^TEB=B^TB=E因此 C 正交。
十、特征值证明题
证明 λ 是特征值
两个入口：
1. 找非零 x，使 Ax=λx。
2. 证明 |λE-A|=0。由行和推出特征值
若每行元素和为 a，取：
e=(1,1,...,1)^T则：
Ae=ae所以 a 是特征值。
由矩阵方程推出特征值
若：
f(A)=O设 Ax=λx，则：
f(A)x=f(λ)x=0因为 x≠0，得：
f(λ)=0十一、相似对角化易混
正确命题
A 可对角化 ⇔ A 有 n 个线性无关特征向量易错命题
A 有重特征值，所以 A 不可对角化错误。
重特征值要看几何重数。
反例
单位矩阵：
E只有一个特征值 1，但已经是对角矩阵。
十二、实对称矩阵易混
正确命题
1. 实对称矩阵一定可正交对角化。
2. 实对称矩阵不同特征值的特征向量正交。
3. 实对称矩阵特征值全为实数。易错推广
不同特征值的特征向量一定正交对普通矩阵不一定；对实对称矩阵才一定。
十三、相似与合同易混
相似
B=P^{-1}AP保持特征值。
合同
B=P^TAP保持正负惯性指数。
易错命题
合同矩阵特征值相同错误。
例：
diag(2,3) 与 diag(1,1)都正定，因此合同，但特征值不同。
十四、二次型易混
交叉项除以 2
若：
f=4x1x2矩阵中：
a12=a21=2不是 4。
标准形与规范形
标准形：
2y1^2-3y2^2规范形：
z1^2-z2^2正定判定
只看行列式大于 0 不够。
二阶正定需要：
a11>0
|A|>0n 阶需要顺序主子式全正。
十五、反例库
1. 同秩不等价
(1,0)^T 与 (0,1)^T2. 部分无关但整体相关
e1,e2,e1+e23. 两个无关组合起来相关
e1,e2 与 e1,e24. 非齐次解相加不是解
若 Aη1=b, Aη2=b：
A(η1+η2)=2b5. 特征值相同但不相似
[1 1
0 1]与：
[1 0
0 1]特征值都为 1，但不相似。
6. 合同但特征值不同
diag(2,3)与：
diag(1,1)都正定，合同，但特征值不同。
十六、证明题常用开头句
线性无关
设 k1α1+...+ksαs=0，下证 k1=...=ks=0。线性相关
只需构造一组不全为零的系数，使线性组合为零。可表示
设 β=x1α1+...+xsαs，转化为线性方程组求解。正交矩阵
只需证明该矩阵 C 满足 C^TC=E。特征值
设 λ 为 A 的特征值，x 为对应非零特征向量。正定
由于 A 为实对称矩阵，可用特征值判据/顺序主子式判据判断正定性。十七、考前概念题速查表
1. 关键词
2. 立刻想到
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1. 可由线性表示
2. r(A)=r(A,b)
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1. 线性相关
2. 非零组合为 0，或秩小于向量个数
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1. 线性无关
2. 齐次方程只有零解，或秩等于向量个数
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1. 基础解系
2. 都是解、无关、个数 n-r(A)
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1. 非齐次通解
2. 特解 + 齐次通解
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1. 正交矩阵
2. Q^TQ=E
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1. 特征值
2. `
3. λE-A
4. =0`
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1. 可对角化
2. n 个线性无关特征向量
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1. 实对称
2. 一定正交对角化
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1. 二次型
2. x^TAx
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1. 合同
2. P^TAP
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1. 正定
2. 特征值全正或顺序主子式全正