线性代数错题本
第五章二次型与合同知识点题型总复习
第五章：相似矩阵、二次型与合同知识点题型总复习
> 定位：第五章前半继续强化相似矩阵和特征值技巧，后半进入二次型。二次型的核心不是“解方程”，而是研究平方型表达式在变量替换下能化成什么标准形式。
一、本章总览：第五章到底在解决什么
第五章有两条主线。
第一条是相似矩阵：
A 与 B 是否代表同一个线性变换的不同基表示？第二条是二次型：
一个二次齐次多项式能否通过可逆变换化成平方和？
平方项有几个正的、几个负的、几个零的？相似关心：
P^{-1}AP合同关心：
P^TAP这两个形式长得像，但意义完全不同。
二、本章知识地图
相似矩阵
↓
特征值、特征多项式、矩阵多项式
↓
相似对角化
二次型 f=x^TAx
↓
对称矩阵 A
↓
合同变换 P^TAP
↓
标准形、规范形
↓
惯性指数、正定性三、相似与合同的总对比
1. 项目
2. 相似
3. 合同
---
1. 形式
2. B=P^{-1}AP
3. B=P^TAP
---
1. 主要对象
2. 线性变换矩阵
3. 二次型矩阵
---
1. 主要保持
2. 特征值、迹、行列式、秩
3. 秩、正负惯性指数
---
1. 是否保持特征值
2. 是
3. 不一定
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1. 是否保持秩
2. 是
3. 是
---
1. 对角化意义
2. 找特征向量基
3. 化二次型为平方和一句话区分
看到特征值、特征向量、对角化 -> 想相似。
看到二次型、标准形、规范形、正定 -> 想合同。四、秩 1 矩阵 αα^T
核心结论
若 α 是单位列向量：
α^Tα=1则：
αα^T的特征值为：
1,0,0,...,0α 方向对应特征值 1；与 α 正交的方向对应特征值 0。
常用推论
E-αα^T 的特征值：0,1,...,1
E+αα^T 的特征值：2,1,...,1
E-2αα^T 的特征值：-1,1,...,1因此：
r(E-αα^T)=n-1题型入口
看到：
αα^T
α^Tα=1
单位列向量
秩 1 矩阵立刻分两类方向：
α 本身
与 α 正交的所有向量五、矩阵多项式与特征值
核心结论
若 λ 是 A 的特征值，则：
f(A) 的特征值为 f(λ)例如：
A 的特征值为 2,-3,6则：
2A-6E 的特征值为 -2,-12,6满秩判断
矩阵满秩等价于没有 0 特征值。
所以判断 f(A) 是否可逆，只要看：
f(λi) 是否全都非零幂零矩阵
若：
A^k=O则 A 的特征值全为 0。
因此：
|cE+A|=c^n六、由特征向量组构造 P^{-1}AP
核心关系
设：
P=(α1,α2,...,αn)若：
A(α1,...,αn)=(α1,...,αn)B即：
AP=PB且 P 可逆，则：
P^{-1}AP=BB 怎么写
B 的第 i 列是：
Aαi 在基 α1,...,αn 下的坐标题型入口
看到：
Aα1=...
Aα2=...
Aα3=...
α1,α2,α3 线性无关
求 P^{-1}AP就按列写 B。
七、二次型的定义
二次型是什么
二次型是二次齐次多项式：
f(x1,...,xn)=Σ aii xi^2 + 2Σ aij xi xj可以写成矩阵形式：
f=x^TAx其中 A 是对称矩阵。
为什么要对称矩阵
因为：
x^TAx中 aijxixj 和 ajixjxi 会合并，所以总可以取：
aij=aji写矩阵规则
1. 平方项系数直接放对角线。
2. 交叉项系数除以 2 放对称位置。例如：
f=2x1^2+3x2^2+4x1x2矩阵为：
A=[2 2
2 3]因为 4x1x2 对应 a12=a21=2。
八、二次型的矩阵变换
若：
f=x^TAx做可逆线性变换：
x=Cy则：
f=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y所以二次型矩阵从 A 变为：
C^TAC这就是合同变换。
重点
二次型变量替换对应合同，不是相似。
二次型：C^TAC
线性变换换基：P^{-1}AP九、标准形、规范形、惯性指数
标准形
只含平方项，没有交叉项：
d1y1^2+d2y2^2+...+dnyn^2规范形
在实数域中，把非零系数缩放成 ±1：
y1^2+...+yp^2 - y(p+1)^2 - ... - y(p+q)^2剩余变量系数为 0。
秩和惯性指数
1. 名称
2. 含义
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1. 秩 r
2. 非零平方项个数
---
1. 正惯性指数 p
2. 正平方项个数
---
1. 负惯性指数 q
2. 负平方项个数
---
1. 符号差
2. p-q惯性定理说明：
同一个实二次型无论怎样化标准形，正项个数和负项个数不变。十、正交变换化标准形
若 A 是实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q，使：
Q^TAQ=diag(λ1,...,λn)其中 λi 是 A 的特征值。
做：
x=Qy则：
f=x^TAx=y^TQ^TAQy=λ1y1^2+...+λnyn^2流程
1. 写二次型矩阵 A。
2. 求 A 的特征值。
3. 求规范正交特征向量。
4. 组成 Q。
5. 标准形系数就是对应特征值。易错点
若 Q 的列顺序变了，标准形中平方项系数顺序也变。
十一、配方法化标准形
适用场景
题目只要求可逆线性变换化标准形，不要求正交变换。
基本思想
通过变量替换把交叉项消掉。
有平方项时
例如：
f=x1^2+2x1x2+2x1x3配成：
f=(x1+x2+x3)^2-(x2+x3)^2没有平方项但有交叉项时
用：
x1=y1+y2
x2=y1-y2则：
x1x2=y1^2-y2^2交叉项变平方差。
易错点
配方法对应的是合同变换，不要求变换矩阵正交，所以配方法得到的标准形系数不一定等于特征值。
十二、正定二次型
定义
二次型：
f=x^TAx正定，指：
对任意 x≠0，有 x^TAx>0判据
对实对称矩阵 A：
1. 判据
2. 内容
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1. 特征值判据
2. 所有特征值大于 0
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1. 顺序主子式判据
2. Δ1>0, Δ2>0, ..., Δn>0
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1. 惯性指数判据
2. 正惯性指数为 n半正定、负定
1. 类型
2. 特征值
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1. 正定
2. 全部 >0
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1. 半正定
2. 全部 ≥0
---
1. 负定
2. 全部 <0
---
1. 半负定
2. 全部 ≤0
---
1. 不定
2. 有正有负十三、合同判断
合同定义
若存在可逆矩阵 P，使：
B=P^TAP则 A 与 B 合同。
实对称矩阵合同判据
两个实对称矩阵合同，当且仅当它们有相同的：
正惯性指数
负惯性指数等价地：
规范形相同例题讲解
判断：
A=diag(2,-3,0)
B=diag(1,-1,0)是否合同。
A 的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1，零项 1 个。
B 也是正惯性指数 1，负惯性指数 1，零项 1 个。
所以 A 与 B 合同。
但它们特征值不同，不一定相似。
十四、第五章证明题套路
证明二次型正定
常用方法：
1. 证明 A 是实对称矩阵。
2. 求特征值并证明全正。
3. 或证明所有顺序主子式全正。
4. 或把标准形化成全正平方项。证明两个矩阵合同
常用方法：
1. 化规范形，看是否相同。
2. 比较正负惯性指数。
3. 直接构造可逆 P，使 B=P^TAP。证明矩阵可逆
常用方法：
1. 证明特征值全非零。
2. 证明行列式非零。
3. 证明齐次方程只有零解。证明 f(A) 的性质
常用方法：
1. 先求 A 的特征值。
2. 把 λ 代入 f(λ)。
3. 根据新特征值判断行列式、秩、可逆性。十五、第五章概念易混表
1. 易混点
2. 正确说法
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1. 二次型变换是相似吗
2. 不是，是合同
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1. 合同保持特征值吗
2. 不一定
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1. 相似保持惯性指数吗
2. 不是主要结论
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1. 标准形唯一吗
2. 不唯一
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1. 规范形唯一吗
2. 在实数域合同意义下由惯性指数决定
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1. 正定只看行列式大于 0 吗
2. 不够，要顺序主子式全正或特征值全正
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1. 配方法系数是特征值吗
2. 不一定
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1. 正交变换标准形系数是特征值吗
2. 是十六、第五章必须讲清楚的 30 个点
1. 相似形式是 P^{-1}AP。
2. 合同形式是 P^TAP。
3. 相似主要用于线性变换。
4. 合同主要用于二次型。
5. 相似保持特征值。
6. 合同保持正负惯性指数。
7. 二次型可写为 x^TAx。
8. 二次型矩阵取对称矩阵。
9. 交叉项系数写矩阵时要除以 2。
10. 可逆线性变换 x=Cy 使矩阵变为 C^TAC。
11. 标准形没有交叉项。
12. 规范形只有 +1,-1,0。
13. 二次型的秩是非零平方项个数。
14. 正惯性指数是正平方项个数。
15. 负惯性指数是负平方项个数。
16. 惯性指数不随可逆变换改变。
17. 正定要求任意非零 x 都有 x^TAx>0。
18. 正定等价于特征值全正。
19. 正定等价于顺序主子式全正。
20. 半正定允许零特征值。
21. 不定表示既有正方向又有负方向。
22. 正交变换化标准形要用特征值。
23. 正交矩阵列向量是规范正交特征向量。
24. 配方法不要求正交。
25. αα^T 是秩 1 矩阵。
26. 单位 α 下 αα^T 的非零特征值为 1。
27. 幂零矩阵特征值全为 0。
28. f(A) 的特征值为 f(λ)。
29. A~B 可推出 A-λE ~ B-λE。
30. 二次型题不要把合同和相似混用。十七、本章一句话总结
第五章前半用特征值和相似简化矩阵，后半用合同变换简化二次型；相似看特征值，合同看惯性指数。